Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
f(x)=\exp \left(\frac{-x^{2}}{2 s}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira e segunda ordem da função
f(x) = \exp\!\bigl(\tfrac{-x^2}{2s}\bigr)
em relação a x. Vamos usar a regra da cadeia para f'(x) e depois a regra do produto para f''(x).

Passo 2

Para achar f'(x), note que
f'(x) = f(x)\,\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x^2}{2s}\Bigr).
Como
\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x^2}{2s}\Bigr) = -\frac{x}{s},
segue que
f'(x) = -\tfrac{x}{s}\,\exp\!\bigl(\tfrac{-x^2}{2s}\bigr).

Passo 3

Escrevendo f'(x) = -\tfrac{x}{s}\,f(x), aplicamos a regra do produto para obter f''(x):
f''(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x}{s}\Bigr)\,f(x) \;+\;\Bigl(-\tfrac{x}{s}\Bigr)\,f'(x).
Aqui \frac{d}{dx}(-\tfrac{x}{s}) = -\tfrac{1}{s} e substituindo f'(x):
f''(x) = -\tfrac{1}{s}\,f(x) + \bigl(-\tfrac{x}{s}\bigr)\Bigl(-\tfrac{x}{s}\,f(x)\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{s} + \tfrac{x^2}{s^2}\Bigr)\,f(x).
Portanto
f''(x) = \Bigl(\tfrac{x^2}{s^2} - \tfrac{1}{s}\Bigr)\exp\!\bigl(\tfrac{-x^2}{2s}\bigr).

Resposta

f'(x) = -\tfrac{x}{s}\,\exp\!\bigl(\tfrac{-x^2}{2s}\bigr) f''(x) = \Bigl(\tfrac{x^2}{s^2} - \tfrac{1}{s}\Bigr)\exp\!\bigl(\tfrac{-x^2}{2s}\bigr)

Exercícios relacionados