Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
f(x)=\exp \left(\frac{-x^{2}}{2 s}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivadas, em relação a x, da função
f(x) = \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{2s}\Bigr),
onde s é tratado como constante. Vamos usar a regra da cadeia para a derivação de exponenciais e, no segundo passo, a regra do produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Para achar a primeira derivada f'(x), note que
f(x) = e^{u(x)},\quad\text{com}\quad u(x) = -\frac{x^2}{2s}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)}.
Como
u'(x) = -\frac{1}{2s}\cdot 2x = -\frac{x}{s},
temos
f'(x) = -\frac{x}{s}\,\exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{2s}\Bigr).

Passo 3

Agora vamos à segunda derivada f''(x). Escrevemos
f'(x) = -\frac{1}{s}\,x\,f(x).
Aplicando a regra do produto em u(x)= -\frac{1}{s}x e v(x)=f(x), obtemos
f''(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Já sabemos u'(x)=-\frac{1}{s} e v'(x)=f'(x)=-\frac{x}{s}f(x). Logo,
f''(x) = -\frac{1}{s}\,f(x) + \Bigl(-\frac{x}{s}\Bigr)\Bigl(-\frac{x}{s}f(x)\Bigr) = -\frac{1}{s}\,f(x) + \frac{x^2}{s^2}\,f(x).
Fatorando f(x),
f''(x) = \Bigl(\frac{x^2}{s^2} - \frac{1}{s}\Bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{2s}\Bigr).

Resposta

f'(x) = -\dfrac{x}{s}\,\exp\!\bigl(-\dfrac{x^2}{2s}\bigr) f''(x) = \Bigl(\dfrac{x^2}{s^2} - \dfrac{1}{s}\Bigr)\exp\!\bigl(-\dfrac{x^2}{2s}\bigr)

Exercícios relacionados