Dadas as funções abaixo, determine os parâmetros e esboce, num mesmo eixo, as curvas de v ou i em função do tempo.
v_{1}(t)=5,0 \operatorname{sen}\left(377 t+30^{\circ}\right) ; i_{2}(t)=3,0 \operatorname{sen}\left(377 t-180^{\circ}\right) e v_{3}(t)=4,5 \operatorname{sen}(377 t)

Passo 1

O enunciado dá três sinais senoidais e pede que se determinem os parâmetros e que se esbocem, num mesmo eixo tempo, as curvas de tensão ou corrente. As informações fornecidas são (peguei tudo do enunciado):
  • v_{1}(t)=5,0\\ \operatorname{sen}\!\left(377\,t+30^{\circ}\right)
  • i_{2}(t)=3,0\\ \operatorname{sen}\!\left(377\,t-180^{\circ}\right)
  • v_{3}(t)=4,5\\ \operatorname{sen}\!(377\,t)
O que se pede:
  • Determinar os parâmetros essenciais de cada sinal (amplitude, frequência/periodo, fase, deslocamento de tempo relativo, etc.).
  • Esboçar (num mesmo eixo tempo) as três curvas, mostrando suas posições relativas no tempo.

Passo 2

Primeiro, uma mini-aula prática sobre a forma padrão de uma senoide:
x(t)=X_{m}\sin\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
onde:
  • X_{m} é a amplitude máxima (valor de pico).
  • \omega é a velocidade angular em \text{rad/s}.
  • \varphi é a fase inicial em radianos (ou graus).
  • A frequência em hertz é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • O período é T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.
    Explicação curta: a fase \varphi desloca a onda no tempo. Um deslocamento de fase positivo significa que a onda está adiantada (ocorre antes) em relação à forma sem fase; negativo significa que ela está atrasada.

Passo 3

Calcular f e T a partir de \omega=377.
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{377}{2\pi}\approx 60,0\\ \text{Hz}
T=\dfrac{1}{f}\approx \dfrac{1}{60,0}\approx 0,01667\\ \text{s}\quad(16{,}67\\ \text{ms})
Observação: vou usar esta T para orientar o esboço (um período tem cerca de 0,01667\\ \text{s}).

Passo 4

Extrair amplitude e fase (em graus e em radianos) de cada sinal.
Para v_{1}(t)=5,0\\ \operatorname{sen}\!(377t+30^{\circ}):
  • Amplitude: V_{1m}=5,0.
  • Fase: \varphi_{1}=+30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}\\ \text{rad}.
Para i_{2}(t)=3,0\\ \operatorname{sen}\!(377t-180^{\circ}):
  • Amplitude: I_{2m}=3,0.
  • Fase: \varphi_{2}=-180^{\circ}=-\pi\\ \text{rad}.
    Observação útil: \sin(\theta-180^{\circ})=-\sin\theta. Logo
i_{2}(t)=3,0\sin(377t-180^{\circ})=-3,0\sin(377t).
Isto mostra que i_{2} é a senoide de amplitude 3,0 invertida (fase de 180^{\circ}).
Para v_{3}(t)=4,5\\ \operatorname{sen}\!(377t):
  • Amplitude: V_{3m}=4,5.
  • Fase: \varphi_{3}=0^{\circ}=0\\ \text{rad}.
Também é prático escrever as representações fasoriais (módulo∠fase):
V_{1}=5,0\angle 30^{\circ},\qquad I_{2}=3,0\angle -180^{\circ},\qquad V_{3}=4,5\angle 0^{\circ}.

Passo 5

Converter fases em deslocamentos de tempo (quanto cada sinal está adiantado/atrasado em segundos), usando
\Delta t = -\dfrac{\varphi}{\omega},
com \varphi em radianos. Isso é útil para posicionar cada curva no eixo tempo.
Calcular \Delta t para cada sinal:
Para v_{1}:
\varphi_{1}=\dfrac{\pi}{6}\quad\Rightarrow\quad \Delta t_{1} = -\dfrac{\pi/6}{377} \approx -0,001389\\ \text{s}\quad(\,-1{,}389\\ \text{ms}\,)
Interpretação: v_{1} está adiantado (ocorre antes) em cerca de 1{,}389\\ \text{ms} em relação a uma senoide sem fase (por exemplo v_{3}).
Para v_{3}:
\varphi_{3}=0\quad\Rightarrow\quad \Delta t_{3}=0\\ \text{s}.
Para i_{2}:
\varphi_{2}=-\pi\quad\Rightarrow\quad \Delta t_{2}=-\dfrac{-\pi}{377}=\dfrac{\pi}{377}\approx 0,008337\\ \text{s}\quad(8{,}337\\ \text{ms})
Interpretação: i_{2} (ou melhor, a forma -3{,}0\sin(377t)) aparece atrasada em cerca de 8{,}337\\ \text{ms} em relação a v_{3}.

Passo 6

Encontrar tempos úteis para o esboço: tempos dos primeiros máximos positivos (pico) de cada senoide. Um pico positivo ocorre quando o argumento do seno é \pi/2. Assim:
t_{p}=\dfrac{\pi/2-\varphi}{\omega}.
Calcular t_{p} para cada sinal:
Para v_{1}:
t_{p1}=\dfrac{\pi/2-\pi/6}{377}=\dfrac{\pi/3}{377}\approx 0,002778\\ \text{s}\quad(2{,}778\\ \text{ms}).
Para v_{3}:
t_{p3}=\dfrac{\pi/2-0}{377}=\dfrac{\pi/2}{377}\approx 0,004167\\ \text{s}\quad(4{,}167\\ \text{ms}).
Para i_{2} (usar \varphi_{2}=-\pi):
t_{p2}=\dfrac{\pi/2-(-\pi)}{377}=\dfrac{3\pi/2}{377}\approx 0,01250\\ \text{s}\quad(12{,}50\\ \text{ms}).
Nota: estes tempos estão todos dentro de um período T\approx 0,01667\\ \text{s}, o que facilita o esboço num único período.

Passo 7

Instruções práticas e detalhadas para esboçar as três curvas num mesmo eixo tempo (faça à mão seguindo estes passos; é rápido e dá um bom resultado na prova):
  1. Desenhe o eixo horizontal t de 0 até T=0,01667\\ \text{s} (uma boa opção é marcar 0, 0,00417, 0,00833, 0,01250, 0,01667 s — esses são 0, T/4, T/2, 3T/4, T).
  2. Desenhe o eixo vertical com escala que comporte amplitudes até \pm 5 (por exemplo marque -5,-3,-1,1,3,5). Unidades: volts para v e ampères para i.
  3. Coloque os picos positivos calculados:
    • v_{1} (amplitude 5,0): pico em t_{p1}\approx 0,00278\\ \text{s} com valor +5,0.
    • v_{3} (amplitude 4,5): pico em t_{p3}\approx 0,00417\\ \text{s} com valor +4,5.
    • i_{2} (amplitude 3,0, invertida): como i_{2}=-3{,}0\sin(377t), seu primeiro pico positivo está em t_{p2}\approx 0,01250\\ \text{s} com valor +3,0 (note que a forma visual será invertida em relação a \sin(377t) sem fase).
  4. Marque as passagens por zero: uma senoide passa por zero quando o argumento \omega t+\varphi = 0,\pi,2\pi,\dots. Em particular, para v_{3} o primeiro cruzamento positivo ocorre em t=0, para v_{1} o cruzamento 0 vai acontecer em \;t=-\varphi_{1}/\omega (já calculado como deslocamento) etc. Para esboço basta posicionar picos e desenhar a curva suave senoidal passando por esses pontos.
  5. Trace as três ondas senoidais suaves:
    • v_{1} será a maior amplitude (5,0), e estará adiantada (pico antes do pico de v_{3}).
    • v_{3} ficará entre as duas em amplitude e será a referência (sem deslocamento).
    • i_{2} terá amplitude 3,0, será invertida (fase 180^{\circ}) e seu pico positivo aparecerá bem depois no período (próximo de 3T/4).
  6. Opcional para clareza: use cores ou tracejado diferente para cada sinal e escreva ao lado as equações v_{1}(t), v_{3}(t) e i_{2}(t)=-3,0\sin(377t).
Com isso o esboço mostrará claramente que v_{1} lidera v_{3} em 30^{\circ}, e que i_{2} é uma versão invertida e deslocada por 180^{\circ}.

Passo 8

Resumo interpretativo (útil para a prova):
  • v_{1} tem maior amplitude e está adiantada 30^{\circ} (aprox. 1{,}389\\ \text{ms} adiantada).
  • v_{3} é a referência (fase 0^{\circ}).
  • i_{2} tem amplitude 3,0, é invertida ( -180^{\circ}) e aparece atrasada cerca de 8{,}337\\ \text{ms} em relação a v_{3}.

Resposta

v_{1}(t)=5,0\sin(377t+30^{\circ}):\;V_{1m}=5,0,\;\omega=377\\ \text{rad/s},\;f\approx 60{,}0\\ \text{Hz},\;T\approx 0,01667\\ \text{s},\;\varphi_{1}=30^{\circ}=\tfrac{\pi}{6}\\ \text{rad},\;\Delta t_{1}\approx -0,001389\\ \text{s},\;t_{p1}\approx 0,002778\\ \text{s}.
i_{2}(t)=3,0\sin(377t-180^{\circ})=-3,0\sin(377t):\;I_{2m}=3,0,\;\omega=377\\ \text{rad/s},\;f\approx 60{,}0\\ \text{Hz},\;T\approx 0,01667\\ \text{s},\;\varphi_{2}=-180^{\circ}=-\pi\\ \text{rad},\;\Delta t_{2}\approx 0,008337\\ \text{s},\;t_{p2}\approx 0,01250\\ \text{s}.
v_{3}(t)=4,5\sin(377t):\;V_{3m}=4,5,\;\omega=377\\ \text{rad/s},\;f\approx 60{,}0\\ \text{Hz},\;T\approx 0,01667\\ \text{s},\;\varphi_{3}=0^{\circ}=0,\;\Delta t_{3}=0,\;t_{p3}\approx 0,004167\\ \text{s}.

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