Dadas as funções abaixo determine o período, a amplitude, o domínio e a imagem e esboce pelo menos um período completo do gráfico de cada uma:
f(x)=2+3 \operatorname{sen}(4 x)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x) = 2 + 3\,\sin(4x),
que a gente determine o período, a amplitude, o domínio, a imagem e esboce um período completo. Isso envolve conceitos de funções trigonométricas: amplitude é o coeficiente de \sin, período é 2\pi/|B| se o argumento é Bx, domínio de \sin é \mathbb{R} e a imagem vem do deslocamento vertical.

Passo 2

A amplitude de uma função da forma
g(x) = D + A\,\sin(Bx + C)
é |A|. Aqui A=3, logo
\text{amplitude} = 3.

Passo 3

O período de \sin(Bx) é
T = \frac{2\pi}{|B|}.
No nosso caso B=4, então
T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

O domínio de \sin(4x) (e, portanto, de f) é todo o conjunto de números reais, pois \sin está definido em \mathbb{R}. Logo \text{domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 5

A imagem (ou intervalo de valores) de
f(x) = 2 + 3\,\sin(4x)
é obtida ao variar \sin(4x) entre -1 e +1. Assim
f(x)\in [\,2-3,\;2+3\,] = [-1,\;5].

Passo 6

Para esboçar um período completo de comprimento T=\tfrac{\pi}{2}, escolhemos pontos-chave em x=0,\;\tfrac{\pi}{8},\;\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{3\pi}{8},\;\tfrac{\pi}{2}. Calculando:
\begin{aligned} f(0)&=2+3\sin(0)=2,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)&=2+3\sin\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{8}\bigr)=2+3\sin(\tfrac{\pi}{2})=5,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)&=2+3\sin(\pi)=2,\\\ f\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)&=2+3\sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=2+3\sin(2\pi)=2. \end{aligned}
Traçando esses pontos e ligando com a curva senoidal, obtemos um arco que sobe de (0,2) até o máximo (\tfrac{\pi}{8},5), desce passando por (\tfrac{\pi}{4},2) até o mínimo (\tfrac{3\pi}{8},-1) e volta a (\tfrac{\pi}{2},2).
Um esboço ASCII aproximado fica assim:
 y
 5 | .-‾‾‾-.
 | / \
 2 |- .-’ ’-.
 | / \
 -1 |/ \ 
 +-------------------- x
 \(0\pi\)/\(8\pi\)/\(43\pi\)/\(8\pi\)/2

Resposta

Período: \displaystyle \frac{\pi}{2}
Amplitude: 3
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,5]
Esboço: conforme descrito no Passo 6.

Exercícios relacionados