(0,6 ponto) Determine o valor da expressão \frac{\cos x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{sec} x} sabendo que \operatorname{sen} \mathrm{x}=1 / 2.

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular
\frac{\cos x}{\tan x + \operatorname{sec} x}
sabendo que \sin x = \tfrac12. O conteúdo principal aqui é usar as definições de \tan, \operatorname{sec} e a identidade pitagórica \sin^2x + \cos^2x = 1.

Passo 2

Usando as definições
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},
temos
\tan x + \operatorname{sec} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x}.

Passo 3

Colocando em comum denominador,
\tan x + \operatorname{sec} x = \frac{\sin x + 1}{\cos x}.

Passo 4

Substituindo no quociente dado,
\frac{\cos x}{\tan x + \operatorname{sec} x} = \frac{\cos x}{\frac{\sin x + 1}{\cos x}} = \frac{\cos^2 x}{\sin x + 1}.

Passo 5

Pela identidade pitagórica e por \sin x = \tfrac12,
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}, \qquad \sin x + 1 = \tfrac12 + 1 = \tfrac32.

Passo 6

Logo
\frac{\cos^2 x}{\sin x + 1} = \frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac12

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