Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\operatorname{sinh} z:=\frac{1}{2}\left(e^{z}-e^{-z}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função complexa \operatorname{sinh} z, definida por
\operatorname{sinh} z \;:=\;\tfrac12\bigl(e^z - e^{-z}\bigr),
como uma função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2. Precisamos, portanto, escrever z=x+i y, calcular e^z e e^{-z} em termos de x e y, e depois extrair as partes real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo as exponenciais em termos de x e y, temos
e^z = e^{x+iy} = e^x\bigl(\cos y + i\sin y\bigr),
e^{-z} = e^{-x-iy} = e^{-x}\bigl(\cos y - i\sin y\bigr).

Passo 3

Subtraindo essas expressões:
e^z - e^{-z} = e^x\cos y + i\,e^x\sin y \;-\; \bigl(e^{-x}\cos y - i\,e^{-x}\sin y\bigr)
\phantom{e^z - e^{-z}} = \bigl(e^x - e^{-x}\bigr)\cos y \;+\; i\,\bigl(e^x + e^{-x}\bigr)\sin y.

Passo 4

Aplicando o fator \tfrac12, obtemos
\operatorname{sinh} z = \tfrac12\bigl(e^z - e^{-z}\bigr) = \tfrac12\bigl(e^x - e^{-x}\bigr)\cos y + i\,\tfrac12\bigl(e^x + e^{-x}\bigr)\sin y.

Passo 5

Reconhecendo as definições de \operatorname{sinh} x = \tfrac12(e^x - e^{-x}) e \operatorname{cosh} x = \tfrac12(e^x + e^{-x}), concluímos que
\Re\bigl(\operatorname{sinh} z\bigr) = \operatorname{sinh} x\cos y, \quad \Im\bigl(\operatorname{sinh} z\bigr) = \operatorname{cosh} x\sin y.

Resposta

A função \operatorname{sinh} z\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é dada por
f(x,y) = \bigl(\operatorname{sinh} x\cos y,\;\operatorname{cosh} x\sin y\bigr).

Exercícios relacionados