Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
f(z)=\frac{1}{z-i}

Passo 1

O enunciado dá a função complexa
f(z)=\frac{1}{z - i}
e pede para reescrevê-la como uma aplicação F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Vamos usar a identificação usual
z = x + i\,y,
com x,y\in\mathbb{R}, e extrair as partes real e imaginária de f(z).

Passo 2

Escrevendo o denominador em termos de x e y, temos
z - i = x + i\,(y-1).
Para inverter esse número complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de x + i(y-1).

Passo 3

Fazendo a racionalização, obtemos
f(z) = \frac{1}{x + i(y-1)} = \frac{x - i(y-1)}{x^2 + (y-1)^2}.
Dessa forma, a parte real e a parte imaginária são
u(x,y) = \frac{x}{x^2 + (y-1)^2}, \qquad v(x,y) = \frac{-(y-1)}{x^2 + (y-1)^2}.

Resposta

A aplicação F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 correspondente a f(z)=1/(z-i) é
F(x,y) = \bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr) = \left(\frac{x}{x^2 + (y-1)^2},\;-\frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2}\right).

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