Dadas funções f e g determinar a inversa de g \circ f
f: A \rightarrow \mathbb{R}_{+}, f(x)=x^{2}-1 e g: \mathbb{R}_{+} \rightarrow C, g(x)=\sqrt{x+4}, onde A=\{x \in \mathbb{R} ; x \geq 1\} e C=\{x \in \mathbb{R} ; x \geq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a inversa da composição g\circ f.
Informações dadas:
  • f: A \to \mathbb{R}_{+} definida por f(x)=x^{2}-1, com A=\{x\in\mathbb{R} \mid x\ge 1\}.
  • g: \mathbb{R}_{+} \to C definida por g(x)=\sqrt{x+4}, com C=\{x\in\mathbb{R} \mid x\ge 2\}.
Pergunta explícita:
  • Encontrar (g\circ f)^{-1}, isto é, a função inversa da função g\circ f (domínio da inversa será C e imagem será A).

Passo 2

Formar a composição g\circ f. Por definição de composição, para todo x\in A,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(x^{2}-1\big).
Substituindo a definição de g,
(g\circ f)(x)=\sqrt{(x^{2}-1)+4}=\sqrt{x^{2}+3}.
Breve explicação didática: composição significa primeiro aplicar f ao x (dar x^{2}-1) e depois aplicar g ao resultado (fazer a raiz quadrada de algo somado a 4). Aqui isso simplifica para \sqrt{x^{2}+3}.

Passo 3

Analisar domínio e imagem de g\circ f (importante para saber o domínio da inversa).
  • Para x\in A temos x\ge 1. Então x^{2}\ge 1 e x^{2}+3\ge 4. Assim (g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+3} está bem definida e satisfaz (g\circ f)(x)\ge 2. Logo a imagem de g\circ f é contida em C=\{y\mid y\ge 2\}. Isso garante que a composição realmente vai de A em C.
  • Observação importante (didática): para uma função ter inversa sobre seu conjunto imagem, ela precisa ser bijetiva entre domínio e imagem. Aqui, restrita a A e com imagem C, a função x\mapsto\sqrt{x^{2}+3} é injetora porque, para x\ge 1, a função x\mapsto x^{2} é estritamente crescente (quando restrita a x\ge 0), e a raiz quadrada preserva ordem positiva; logo a composição é estritamente crescente em A e portanto injetora. Assim uma inversa existe de C em A.

Passo 4

Determinar a inversa resolvendo a equação y=(g\circ f)(x) para x em função de y.
Começamos com
y=\sqrt{x^{2}+3},
onde y\in C (ou seja y\ge 2). Para isolar x elevamos ambos os lados ao quadrado (explicação didática: ao elevar ao quadrado perdemos informação sobre sinal de x, por isso depois teremos que selecionar a solução compatível com o domínio):
y^{2}=x^{2}+3.
Isolando x^{2},
x^{2}=y^{2}-3.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos as duas possibilidades formais
x=\pm\sqrt{y^{2}-3}.

Passo 5

Escolher o sinal correto usando o domínio original A e evitar soluções extranhas (didática sobre extraneous roots).
  • A equação ao quadrado gerou duas raízes \pm\sqrt{y^{2}-3}. Mas o domínio original exige x\in A, ou seja x\ge 1. Assim devemos escolher a raiz não negativa:
x=\sqrt{y^{2}-3}.
  • Verificação mínima de consistência: para y\ge 2 temos y^{2}-3\ge 4-3=1, então \sqrt{y^{2}-3}\ge 1, portanto a expressão fica em A. Isso confirma que a escolha do sinal positivo é válida e que a inversa mapeia C em A.

Passo 6

Verificar que a função encontrada é de fato inversa (breve checagem):
Defina h(y)=\sqrt{y^{2}-3} com domínio C.
  • Composição h\big((g\circ f)(x)\big) para x\in A:
h\big((g\circ f)(x)\big)=\sqrt{\big(\sqrt{x^{2}+3}\big)^{2}-3}=\sqrt{x^{2}+3-3}=\sqrt{x^{2}}=x,
pois x\ge 1 implica \sqrt{x^{2}}=x. Logo h\circ(g\circ f)=\mathrm{Id}_{A}.
  • Composição (g\circ f)\big(h(y)\big) para y\in C:
(g\circ f)\big(h(y)\big)=\sqrt{\big(\sqrt{y^{2}-3}\big)^{2}+3}=\sqrt{y^{2}-3+3}=\sqrt{y^{2}}=y,
pois y\ge 2 implica \sqrt{y^{2}}=y. Logo (g\circ f)\circ h=\mathrm{Id}_{C}.
Essas duas igualdades mostram que h é de fato a inversa de g\circ f.

Resposta

\displaystyle (g\circ f)^{-1}: C\to A,\quad (g\circ f)^{-1}(y)=\sqrt{y^{2}-3}

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