Dadas funções f e g determinar a inversa de g \circ f
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3} e g: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=2 x+3.

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a inversa da composição (g\circ f).
Informações dadas:
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{3}.
  • g:\mathbb{A}\to\mathbb{R} definida por g(x)=2x+3.
Observação importante (necessária para que a composição faça sentido): a composição g\circ f só está definida para todo x\in\mathbb{R} se o valor f(x) pertencer ao domínio \mathbb{A} de g. Como a imagem de f é
\{x^3\mid x\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R},
precisamos que \mathbb{A} contenha \mathbb{R}. Vou assumir que \mathbb{A}=\mathbb{R} (essa é a suposição natural para que a composição seja definida para todo \mathbb{R}).

Passo 2

Calcular explicitamente a composição h=g\circ f. Para qualquer x\in\mathbb{R}, primeiro aplicamos f e depois g. Então
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(x^{3}\big)=2\big(x^{3}\big)+3.
Portanto a função composta é
h(x)=(g\circ f)(x)=2x^{3}+3.

Passo 3

Entender o que significa achar a inversa de h. A inversa h^{-1} é a função que desfaz h: para todo x válido deve valer
h^{-1}\big(h(x)\big)=x \quad\text{e}\quad h\big(h^{-1}(y)\big)=y.
Para que h tenha inversa precisamos que h seja bijetora (injetora e sobrejetora). Vou mostrar que h é bijetora usando o fato que é composição de duas bijeções.

Passo 4

Verificar que f e g são bijetoras (isso nos garante que h também é bijetora):
  • f(x)=x^{3}: se x_{1}^{3}=x_{2}^{3} então x_{1}=x_{2}, logo f é injetora. Para qualquer y\in\mathbb{R} tomamos x=\sqrt[3]{y} e f(x)=y, logo f é sobrejetora. Assim f é bijetora. A inversa é
f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}.
  • g(x)=2x+3: como a constante multiplicativa é 2\neq0, g é injetora; para qualquer y\in\mathbb{R} a equação 2x+3=y tem solução x=(y-3)/2, logo g é sobrejetora. Assim g é bijetora. A inversa é
g^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}.
Como f e g são bijeções com domínio e contradomínio \mathbb{R}, a composição h=g\circ f também é bijetora e portanto tem inversa.

Passo 5

Regra geral útil (explicação didática): se h=g\circ f e f,g são bijeções, então a inversa de h é
h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.
Por que essa ordem? Pense que h faz primeiro f e depois g. Para desfazer h você precisa primeiro desfazer g (usar g^{-1}) e depois desfazer f (usar f^{-1}). Em fórmulas, para y=h(x)=g(f(x)) temos
x=f^{-1}\big(g^{-1}(y)\big).
Isso é exatamente h^{-1}(y).

Passo 6

Aplicar a regra usando as inversas que já achamos:
(g\circ f)^{-1}(y)=f^{-1}\big(g^{-1}(y)\big) = f^{-1}\!\left(\frac{y-3}{2}\right) = \sqrt[3]{\frac{y-3}{2}}.
Alternativa (resolução algébrica direta, passo a passo): se y=(g\circ f)(x)=2x^{3}+3, então
  1. Subtrair 3: y-3=2x^{3}.
  2. Dividir por 2: \dfrac{y-3}{2}=x^{3}.
  3. Aplicar raíz cúbica: x=\sqrt[3]{\dfrac{y-3}{2}}.
    Isso fornece a mesma fórmula para h^{-1}.

Passo 7

Expressar a inversa usando a variável habitual de função (pode-se trocar y por x se preferir escrever a função em termos de x). Então
(g\circ f)^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}.
Domínio e contradomínio da inversa: ambos são \mathbb{R}, já que a expressão \sqrt[3]{(\cdot)} é definida para todos os números reais.

Resposta

(g\circ f)^{-1}(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x-3}{2}}

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