Dadas funções
e
determinar a inversa de
e
.
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar a inversa da composição
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
definida por . -
definida por .
Observação importante (necessária para que a composição faça sentido): a composição
só está definida para todo
se o valor
pertencer ao domínio
de
. Como a imagem de
é
precisamos que
contenha
. Vou assumir que
(essa é a suposição natural para que a composição seja definida para todo
).
Passo 2
Calcular explicitamente a composição
. Para qualquer
, primeiro aplicamos
e depois
. Então
Portanto a função composta é
Passo 3
Entender o que significa achar a inversa de
. A inversa
é a função que desfaz
: para todo
válido deve valer
Para que
tenha inversa precisamos que
seja bijetora (injetora e sobrejetora). Vou mostrar que
é bijetora usando o fato que é composição de duas bijeções.
Passo 4
Verificar que
e
são bijetoras (isso nos garante que
também é bijetora):
-
: se então , logo é injetora. Para qualquer tomamos e , logo é sobrejetora. Assim é bijetora. A inversa é
-
: como a constante multiplicativa é , é injetora; para qualquer a equação tem solução , logo é sobrejetora. Assim é bijetora. A inversa é
Como
e
são bijeções com domínio e contradomínio
, a composição
também é bijetora e portanto tem inversa.
Passo 5
Regra geral útil (explicação didática): se
e
são bijeções, então a inversa de
é
Por que essa ordem? Pense que
faz primeiro
e depois
. Para desfazer
você precisa primeiro desfazer
(usar
) e depois desfazer
(usar
). Em fórmulas, para
temos
Isso é exatamente
.
Passo 6
Aplicar a regra usando as inversas que já achamos:
Alternativa (resolução algébrica direta, passo a passo): se
, então
- Subtrair
: . - Dividir por
: . - Aplicar raíz cúbica:
.
Isso fornece a mesma fórmula para.
Passo 7
Expressar a inversa usando a variável habitual de função (pode-se trocar
por
se preferir escrever a função em termos de
). Então
Domínio e contradomínio da inversa: ambos são
, já que a expressão
é definida para todos os números reais.