Dadas as funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} a seguir, escreva-as em função de z e \bar{z} conforme os exemplos resolvidos. Lembrando que x=\frac{z+\bar{z}}{2} e y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
f(x, y)=(y, 0) \leftrightarrow f(z)=y \therefore f(z)=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad f(x,y) = (y,0)
e pede que a escrevamos em termos de z e \bar z, lembrando que
x = \frac{z+\bar z}{2}, \quad y = \frac{z-\bar z}{2\,i}.

Passo 2

Para passar de (x,y) para a forma complexa, identificamos
u(x,y)=y \quad\text{e}\quad v(x,y)=0,
portanto
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)=y + i\cdot0 = y.

Passo 3

Basta substituir
y = \frac{z-\bar z}{2\,i}
no resultado de f(z).

Resposta

f(z) = \frac{z-\bar z}{2\,i}.

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