Dadas as funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} a seguir, escreva-as em função de z e \bar{z} conforme os exemplos resolvidos. Lembrando que x=\frac{z+\bar{z}}{2} e y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
f(x, y)=(x, y) \leftrightarrow f(z)=x+i y \therefore f(z)=z

Passo 1

Temos a função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 dada por
f(x,y) = (x,y),
e queremos escrevê-la em termos de z e \bar z, lembrando que
x = \frac{z + \bar z}{2}, \quad y = \frac{z - \bar z}{2i}.

Passo 2

Como estamos interpretando f(x,y) como uma função complexa f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y), temos
f(z) = x + i\,y.
Substituindo x e y pelas expressões em z,\bar z:
f(z) = \frac{z + \bar z}{2} + i\;\frac{z - \bar z}{2i} = \frac{z + \bar z}{2} + \frac{z - \bar z}{2} = z.

Resposta

f(z) = z.

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