Dadas as funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} a seguir, escreva-as em função de z e \bar{z} conforme os exemplos resolvidos. Lembrando que x=\frac{z+\bar{z}}{2} e y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
f(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
f(x,y)=(x-y,\;x+y)
em função de z e \bar z, usando as relações
x=\frac{z+\bar z}{2}, \quad y=\frac{z-\bar z}{2i}.

Passo 2

Substituímos x e y nas expressões de f. Primeiro, lembramos que
x = \frac{z + \bar z}{2},
y = \frac{z - \bar z}{2i}.

Passo 3

Calculamos a primeira componente x - y:
x - y = \frac{z + \bar z}{2} - \frac{z - \bar z}{2i} = \frac{z + \bar z}{2} + \frac{i\,(z - \bar z)}{2} = \frac{(1 + i)\,z + (1 - i)\,\bar z}{2}.

Passo 4

Calculamos a segunda componente x + y:
x + y = \frac{z + \bar z}{2} + \frac{z - \bar z}{2i} = \frac{z + \bar z}{2} - \frac{i\,(z - \bar z)}{2} = \frac{(1 - i)\,z + (1 + i)\,\bar z}{2}.

Resposta

f(z,\bar z) = \Bigl(\frac{(1 + i)\,z + (1 - i)\,\bar z}{2}, \;\frac{(1 - i)\,z + (1 + i)\,\bar z}{2}\Bigr).

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