Dadas as funções a seguir, encontre seu domínio e sua imagem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $. Isso faz parte da matéria de Funções, especificamente analisando onde a função está definida e quais valores ela pode assumir. Para isso, vamos precisar entender o que significa domínio e imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ que a gente pode colocar na função sem causar nenhum problema, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Olha só a nossa função: $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $. A gente precisa verificar se existe algum valor de $ x $ que faça o denominador $ (1 - x) $ ser igual a zero, porque dividir por zero não é permitido na matemática.
Passo 4
Vamos resolver a equação $ 1 - x = 0 $ para encontrar esses valores problemáticos:
Então, quando $ x = 1 $, o denominador é zero, o que não é permitido.
Passo 5
Isso significa que o domínio da função são todos os números reais menos $ x = 1 $. Em notação matemática, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de $ f(x) $ que a gente consegue obter quando varia $ x $ no domínio.
Passo 7
Observando a função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $, podemos ver que à medida que $ x $ se aproxima de 1, o denominador se aproxima de zero, fazendo $ f(x) $ crescer sem limites positivas ou negativas. Além disso, não há nenhum valor de $ f(x) $ que seja impossível de alcançar, exceto aquela situação específica que criamos ao excluir $ x = 1 $.
Passo 8
Portanto, a imagem da função é todos os números reais. Em notação matemática:
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ é $ \mathbb{R} \setminus {1} $ e a imagem é $ \mathbb{R} $.