Dadas as funções a seguir, encontre seu domínio e sua imagem.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = 1 - x^{2} $. Isso faz parte da matéria de funções, especificamente estudando quais valores $ x $ a função aceita (domínio) e quais valores ela pode produzir (imagem). Para isso, vamos analisar a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando para a função $ f(x) = 1 - x^{2} $, percebemos que é um polinômio do segundo grau.
Polinômios, como essa função, são definidas para todos os números reais. Não existe nenhuma restrição, como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo, que poderia limitar os valores de $ x $.
Portanto, o domínio de $ f(x) $ é:
Isso significa que qualquer número real pode ser colocado na função.
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x) $ pode assumir quando $ x $ varia dentro do domínio.
A função $ f(x) = 1 - x^{2} $ é uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo. O ponto mais alto dessa parábola ocorre quando $ x = 0 $:
À medida que $ x $ se afasta de zero (tanto para valores positivos quanto negativos), o valor de $ f(x) $ diminui, tendendo ao infinito negativo. Isso significa que o valor máximo de $ f(x) $ é 1, e não há limite inferior.
Então, a imagem de $ f(x) $ é todos os números reais menores ou iguais a 1:
Resposta
O domínio da função $ f(x) = 1 - x^{2} $ é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais) e a imagem é $ (-\infty, 1] $.