Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $ é inversível e, se for, encontrar sua inversa. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de funções inversas e analisar se a função dada atende aos requisitos para ter uma inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Basicamente, uma função tem inversa se cada saída dela estiver associada a apenas uma entrada. Em termos matemáticos, a função precisa ser bijetora, ou seja, injetora (sem elementos repetidos no mapa) e sobrejetora (cobrindo todo o conjunto de chegada).
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $. Essa é uma função quadrática, que forma uma parábola quando representada graficamente. O coeficiente de $ x^{2} $ é negativo, o que significa que a parábola está voltada para baixo.
Passo 4
Agora, para saber se a função é injetora, podemos usar o teste da linha horizontal. Se uma linha horizontal intercepta o gráfico da função mais de uma vez, a função não é injetora. No caso da nossa função quadrática, como a parábola está voltada para baixo, existe um intervalo onde para cada valor de $ y $ existem dois valores de $ x $ que resultam nesse $ y $.
Passo 5
Isso significa que a função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $ não passa no teste da linha horizontal, ou seja, ela não é injetora. Sem ser injetora, a função não é bijetora e, portanto, não é inversível no seu domínio original.
Resposta
A função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $ não é inversível porque não é injetora.