Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
(b) f(x)=1+2 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $ é inversível e, se for, encontrar sua inversa. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de funções inversas e analisar se a função dada atende aos requisitos para ter uma inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Basicamente, uma função tem inversa se cada saída dela estiver associada a apenas uma entrada. Em termos matemáticos, a função precisa ser bijetora, ou seja, injetora (sem elementos repetidos no mapa) e sobrejetora (cobrindo todo o conjunto de chegada).

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $. Essa é uma função quadrática, que forma uma parábola quando representada graficamente. O coeficiente de $ x^{2} $ é negativo, o que significa que a parábola está voltada para baixo.

Passo 4

Agora, para saber se a função é injetora, podemos usar o teste da linha horizontal. Se uma linha horizontal intercepta o gráfico da função mais de uma vez, a função não é injetora. No caso da nossa função quadrática, como a parábola está voltada para baixo, existe um intervalo onde para cada valor de $ y $ existem dois valores de $ x $ que resultam nesse $ y $.

Passo 5

Isso significa que a função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $ não passa no teste da linha horizontal, ou seja, ela não é injetora. Sem ser injetora, a função não é bijetora e, portanto, não é inversível no seu domínio original.

Resposta

A função $ f(x) = 1 + 2x - x^{2} $ não é inversível porque não é injetora.

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