Dadas as funções de transferência em malha aberta, desenhe o lugar das raízes.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o lugar das raízes (root locus) da malha aberta definida por
Informações dadas e coisas óbvias do enunciado que vamos usar:
- Função de malha aberta:
. - Não há zeros finitos (nenhum numerador diferente de constante).
- Há polos em
(multiplicidade 1), (multiplicidade 2) e (multiplicidade 1). - Vamos considerar o lugar das raízes para ganho real positivo
na equação característica .
A partir daqui começamos a construir o root locus passo a passo.
Passo 2
Contagem de polos e zeros e consequência básica:
- Número de polos finitos
(contando multiplicidades). - Número de zeros finitos
. - Logo o número de ramos do lugar das raízes é
. - Como
, teremos assíntotas que mostram para onde vão os ramos que vão para infinito.
Passo 3
Localização dos polos (marcadores iniciais no plano
):
- Polos em
(duplo), ;e .
Coloque no esboço um “X” em cada um desses pontos; o pontorecebe dois (ou um com indicação de multiplicidade 2).
Passo 4
Segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes:
Regra: um ponto real pertence ao root locus se à sua direita há um número ímpar de polos+zeros.
Regra: um ponto real pertence ao root locus se à sua direita há um número ímpar de polos+zeros.
- Intervalo
: à direita há 3 polos? Na verdade à direita há 3 polos? Contagem explícita para : polos à direita são → total 4 (par) → NÃO pertence. - Intervalo
: à direita há → 3 (ímpar) → pertence. - Intervalo
: à direita há → 1 (ímpar) → pertence. - Intervalo
: à direita não há polos → 0 (par) → NÃO pertence.
Conclusão: no eixo real o locus está eme em . Marque esses dois segmentos no esboço.
Passo 5
Assíntotas (direções e centróide):
Fórmulas úteis:
Fórmulas úteis:
Cálculo:
- Soma dos polos
. - Soma dos zeros
(não há zeros finitos). - Centróide
. - Ângulos:
→ para obtemos , ou em graus .
Interpretação prática: as quatro assíntotas partem do pontoe têm direções e . Desenhe essas linhas no esboço.
Passo 6
Comportamento inicial nos polos múltiplos (ângulos de partida):
Para um polo de multiplicidade as direções iniciais são
Para um polo de multiplicidade
No nosso caso, no polo duplo
com
as direções são
ou seja
: os dois ramos que saem de
partem verticalmente (um para cima, outro para baixo) imediatamente quando
aumenta a partir de zero. Marque no esboço ramos que partem verticalmente de
.
Passo 7
Pontos de breakaway / break-in (pontos reais onde ramos se encontram e saem do eixo real):
Método: escrever em função de
a partir de
e resolver
para achar pontos em que múltiplas raízes reais ocorrem.
Método: escrever
- A equação característica em forma de polinômio:
- Definimos
e procuramos soluções reais de .
Expansão e derivada:
Zerando a derivada:
Dividindo por
:
Uma raiz óbvia é
. Fazendo a divisão obtemos o quadrático
cuja solução é
Assim os três pontos críticos reais são
Verificação de quais pertencem aos segmentos reais do passo 4:
-
pertence a → ponto de breakaway/break-in. -
pertence a → ponto de breakaway/break-in. -
é o polo duplo (já tratado).
Calcule agora o ganhonesses pontos usando . Para os dois pontos simétricos (os dois quadráticos acima) obtemos, após cálculo:
Conclusão: em
e
dois ramos reais se encontram quando
e então deixam o eixo real para formar pares complexos conjugados.
Passo 8
Cruzamento do eixo imaginário (quando o locus corta o eixo
):
Método prático (mais simples e seguro para polinômios): usar o critério de Routh para achar o valor de em que aparecem raízes puramente imaginárias.
Polinômio característico:
Método prático (mais simples e seguro para polinômios): usar o critério de Routh para achar o valor de
Polinômio característico:
Montando a tabela de Routh:
Para existência de raízes no eixo imaginário a linha
deve anular-se, ou seja
Para esse
, os elementos da linha
formam o polinômio auxiliar
Logo as interseções imaginárias são
Conclusão: o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em
para
.]
Passo 9
Resumo do comportamento dos ramos (como desenhar):
- Início (K=0): raízes em
(duas), . - No eixo real há segmentos do root locus em
e em . - Em
e ocorre breakaway/break-in para : dois ramos reais se unem e deixam o eixo real para formar um par complexo conjugado quando passa desse valor. - Do polo duplo em
saem dois ramos inicialmente em (verticalmente). - À medida que
cresce bastante, dois ramos seguem para o infinito ao longo das assíntotas com ângulos e centradas em . - O locus cruza o eixo imaginário em
quando . Para há raízes com parte real positiva (instabilidade) — observe isso como margem de estabilidade. - Para desenhar: marque polos, desenhe segmentos reais
e , marque breakpoints em e e desenhe os ramos complexos aproximando-se das assíntotas centradas em com ângulos . Indique também os cruzamentos imaginários em .
Passo 10
Dicas práticas para o esboço na prova (sem calculadora complicada):
- Coloque eixos e marque pontos
com boa precisão. - Trace as assíntotas a partir de
nas direções e . - Ligue no eixo real os segmentos
e como parte do locus até os breakpoints aproximados e . - Desenhe ramos saindo verticalmente de
e curvando-se em direção às assíntotas; desenhe os pares complexos simétricos em relação ao eixo real. - Marque o cruzamento imaginário em
(usando a escala vertical) indicando .
Resposta
Polos:
(duplo), ;s=-2)
Zeros finitos: nenhum
Segmentos do eixo real no locus: e
Assíntotas: centróide em ; ângulos
Breakpoints reais: e
(ocorrem para
)
Partida dos ramos em (polo duplo): ângulos de partida
(ramos verticais)
Cruzamento do eixo imaginário: para
Comportamento para : dois ramos vão para infinito seguindo as assíntotas indicadas a partir de
.
Zeros finitos: nenhum
Segmentos do eixo real no locus:
Assíntotas: centróide em
Breakpoints reais:
Partida dos ramos em
Cruzamento do eixo imaginário:
Comportamento para