Dadas as funções de transferência em malha aberta, desenhe o lugar das raízes.
G(s)=\frac{1}{s(s+1)^{2}(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o lugar das raízes (root locus) da malha aberta definida por
G(s)=\frac{1}{s(s+1)^{2}(s+2)}.
Informações dadas e coisas óbvias do enunciado que vamos usar:
  • Função de malha aberta: \displaystyle G(s)=\frac{1}{s(s+1)^{2}(s+2)}.
  • Não há zeros finitos (nenhum numerador diferente de constante).
  • Há polos em \;s=0 (multiplicidade 1), \;s=-1 (multiplicidade 2) e \;s=-2 (multiplicidade 1).
  • Vamos considerar o lugar das raízes para ganho real positivo K na equação característica 1+K\,G(s)=0.
    A partir daqui começamos a construir o root locus passo a passo.

Passo 2

Contagem de polos e zeros e consequência básica:
  • Número de polos finitos n=4 (contando multiplicidades).
  • Número de zeros finitos m=0.
  • Logo o número de ramos do lugar das raízes é n=4.
  • Como n-m=4, teremos 4 assíntotas que mostram para onde vão os ramos que vão para infinito.

Passo 3

Localização dos polos (marcadores iniciais no plano s):
  • Polos em \;s=0,\;s=-1 (duplo), ;e \;s=-2.
    Coloque no esboço um “X” em cada um desses pontos; o ponto \;s=-1 recebe dois X (ou um X com indicação de multiplicidade 2).

Passo 4

Segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes:
Regra: um ponto real pertence ao root locus se à sua direita há um número ímpar de polos+zeros.
  • Intervalo (-\infty,-2): à direita há 3 polos? Na verdade à direita há 3 polos? Contagem explícita para s<-2: polos à direita são -2,-1,-1,0 → total 4 (par) → NÃO pertence.
  • Intervalo (-2,-1): à direita há -1,-1,0 → 3 (ímpar) → pertence.
  • Intervalo (-1,0): à direita há 0 → 1 (ímpar) → pertence.
  • Intervalo (0,+\infty): à direita não há polos → 0 (par) → NÃO pertence.
    Conclusão: no eixo real o locus está em (-2,-1) e em (-1,0). Marque esses dois segmentos no esboço.

Passo 5

Assíntotas (direções e centróide):
Fórmulas úteis:
\text{número de assíntotas}=n-m=4,úí
\text{ângulos das assíntotas}=\frac{(2k+1)\pi}{n-m},\qquad k=0,1,2,3,âí
\text{centróide}=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{\,n-m\,}.ó
Cálculo:
  • Soma dos polos =0 + (-1)+(-1)+(-2) = -4.
  • Soma dos zeros =0 (não há zeros finitos).
  • Centróide =\dfrac{-4-0}{4} = -1.
  • Ângulos: \dfrac{(2k+1)\pi}{4} → para k=0,1,2,3 obtemos \pi/4,\;3\pi/4,\;5\pi/4,\;7\pi/4, ou em graus \;45^\circ,\;135^\circ,\;225^\circ,\;315^\circ.
    Interpretação prática: as quatro assíntotas partem do ponto \;s=-1 e têm direções \pm 45^\circ e \pm 135^\circ. Desenhe essas linhas no esboço.

Passo 6

Comportamento inicial nos polos múltiplos (ângulos de partida):
Para um polo de multiplicidade m as direções iniciais são
\theta = \frac{(2q+1)\pi}{m},\qquad q=0,\dots,m-1.
No nosso caso, no polo duplo \;s=-1 com m=2 as direções são
\theta = \frac{\pi}{2},\; \frac{3\pi}{2}
ou seja \pm 90^\circ: os dois ramos que saem de \;s=-1 partem verticalmente (um para cima, outro para baixo) imediatamente quando K aumenta a partir de zero. Marque no esboço ramos que partem verticalmente de -1.

Passo 7

Pontos de breakaway / break-in (pontos reais onde ramos se encontram e saem do eixo real):
Método: escrever K em função de s a partir de 1+K G(s)=0 e resolver dK/ds=0 para achar pontos em que múltiplas raízes reais ocorrem.
  • A equação característica em forma de polinômio:
s(s+1)^2(s+2) + K = 0 \quad\Rightarrow\quad K = -s(s+1)^2(s+2).
  • Definimos K(s) = -s(s+1)^2(s+2) e procuramos soluções reais de dK/ds=0.
    Expansão e derivada:
s(s+1)^2(s+2) = s^4 +4s^3 +5s^2 +2s,
K(s) = -\bigl(s^4 +4s^3 +5s^2 +2s\bigr),
\frac{dK}{ds} = -\bigl(4s^3 +12s^2 +10s +2\bigr).
Zerando a derivada:
4s^3 +12s^2 +10s +2 = 0.
Dividindo por 2:
2s^3 +6s^2 +5s +1 = 0.
Uma raiz óbvia é s=-1. Fazendo a divisão obtemos o quadrático
2s^2 +4s +1 = 0,
cuja solução é
s = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{4} = \frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}.
Assim os três pontos críticos reais são
s = -1,\qquad s = \frac{-2-\sqrt{2}}{2}\approx -1,7071,\qquad s = \frac{-2+\sqrt{2}}{2}\approx -0,2929.
Verificação de quais pertencem aos segmentos reais do passo 4:
  • s\approx -1,7071 pertence a (-2,-1) → ponto de breakaway/break-in.
  • s\approx -0,2929 pertence a (-1,0) → ponto de breakaway/break-in.
  • s=-1 é o polo duplo (já tratado).
    Calcule agora o ganho K nesses pontos usando K(s) = -s(s+1)^2(s+2). Para os dois pontos simétricos (os dois quadráticos acima) obtemos, após cálculo:
K\bigl(s=\tfrac{-2\pm\sqrt{2}}{2}\bigr) = \tfrac{1}{4} = 0,25.
Conclusão: em \;s\approx -1,7071 e \;s\approx -0,2929 dois ramos reais se encontram quando K=0,25 e então deixam o eixo real para formar pares complexos conjugados.

Passo 8

Cruzamento do eixo imaginário (quando o locus corta o eixo j\omega):
Método prático (mais simples e seguro para polinômios): usar o critério de Routh para achar o valor de K em que aparecem raízes puramente imaginárias.
Polinômio característico:
p(s)=s^4+4s^3+5s^2+2s+K.
Montando a tabela de Routh:
\begin{array}{c|cc} s^4 & 1 & 5\\[4pt] s^3 & 4 & 2\\[4pt] s^2 & \dfrac{4\cdot5-1\cdot2}{4}= \dfrac{18}{4}=4{,}5 & K\\[6pt] s^1 & \dfrac{4{,}5\cdot 2 - 4\cdot K}{4{,}5} = \dfrac{9-4K}{4{,}5} & 0\\[6pt] s^0 & K & \end{array}
Para existência de raízes no eixo imaginário a linha s^1 deve anular-se, ou seja
\frac{9-4K}{4{,}5}=0 \quad\Rightarrow\quad K=\frac{9}{4}=2{,}25.
Para esse K, os elementos da linha s^2 formam o polinômio auxiliar
4{,}5\,s^2 + K = 4{,}5\,s^2 + 2{,}25 =0 \quad\Rightarrow\quad s^2 = -\frac{2{,}25}{4{,}5} = -\tfrac{1}{2}.
Logo as interseções imaginárias são
s = \pm j\sqrt{\tfrac{1}{2}} = \pm j\,0{,}707106\ldots
Conclusão: o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em s=\pm j0{,}7071 para K=9/4=2{,}25.]

Passo 9

Resumo do comportamento dos ramos (como desenhar):
  • Início (K=0): raízes em s=0,\;s=-1 (duas), s=-2.
  • No eixo real há segmentos do root locus em (-2,-1) e em (-1,0).
  • Em \;s\approx -1{,}7071 e \;s\approx -0{,}2929 ocorre breakaway/break-in para K=0{,}25: dois ramos reais se unem e deixam o eixo real para formar um par complexo conjugado quando K passa desse valor.
  • Do polo duplo em \;s=-1 saem dois ramos inicialmente em \pm 90^\circ (verticalmente).
  • À medida que K cresce bastante, dois ramos seguem para o infinito ao longo das assíntotas com ângulos \pm 45^\circ e \pm 135^\circ centradas em \;s=-1.
  • O locus cruza o eixo imaginário em s=\pm j0{,}7071 quando K=2{,}25. Para K>2{,}25 há raízes com parte real positiva (instabilidade) — observe isso como margem de estabilidade.
  • Para desenhar: marque polos, desenhe segmentos reais (-2,-1) e (-1,0), marque breakpoints em -1{,}7071 e -0{,}2929 e desenhe os ramos complexos aproximando-se das assíntotas centradas em -1 com ângulos 45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ. Indique também os cruzamentos imaginários em \pm j0{,}7071.

Passo 10

Dicas práticas para o esboço na prova (sem calculadora complicada):
  • Coloque eixos e marque pontos -2,-1,0 com boa precisão.
  • Trace as assíntotas a partir de -1 nas direções \pm 45^\circ e \pm 135^\circ.
  • Ligue no eixo real os segmentos (-2,-1) e (-1,0) como parte do locus até os breakpoints aproximados -1{,}707 e -0{,}293.
  • Desenhe ramos saindo verticalmente de -1 e curvando-se em direção às assíntotas; desenhe os pares complexos simétricos em relação ao eixo real.
  • Marque o cruzamento imaginário em \pm j0{,}707 (usando a escala vertical) indicando K=9/4.

Resposta

Polos: \;s=0,\;s=-1 (duplo), ;s=-2)
Zeros finitos: nenhum
Segmentos do eixo real no locus: (-2,-1) e (-1,0)
Assíntotas: centróide em \;s=-1; ângulos \;45^\circ,\;135^\circ,\;225^\circ,\;315^\circ
Breakpoints reais: s=\dfrac{-2-\sqrt{2}}{2}\approx -1{,}7071 e s=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}2929 (ocorrem para K=0{,}25)
Partida dos ramos em s=-1 (polo duplo): ângulos de partida \pm 90^\circ (ramos verticais)
Cruzamento do eixo imaginário: s=\pm j\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\pm j0{,}7071 para K=\dfrac{9}{4}=2{,}25
Comportamento para K\to\infty: dois ramos vão para infinito seguindo as assíntotas indicadas a partir de -1.

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