Dadas as matrizes \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{rrr}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right], \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{rr}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{array}\right], \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{lll}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2}\end{array}\right] e \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{rr}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{array}\right] :
Calcular \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{T}} e classificar a matriz \boldsymbol{A}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}^{T} onde
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
e, em seguida, classificar a matriz \boldsymbol{A}. Vamos usar multiplicação de matrizes, definição de transposta e critérios de classificação (simetria, ortogonalidade, involutividade).

Passo 2

Calcular a transposta \boldsymbol{A}^{T}. Como
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},
trocar linhas por colunas dá
\boldsymbol{A}^{T} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},
logo \boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{A}, isto é, \boldsymbol{A} é simétrica.

Passo 3

Multiplicar \boldsymbol{A} por \boldsymbol{A}^{T}. Como \boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}, temos
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}^{T} =\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
O produto é feito linha–coluna:
\begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot1 & 0\cdot1 + 1\cdot0\\\\ 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Como \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{I}_2, concluímos que \boldsymbol{A} é ortogonal. Além disso, já vimos que \boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}, ou seja, \boldsymbol{A} é simétrica. Observando ainda \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I}_2 e \boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{I}_2, \boldsymbol{A} é também uma matriz involutória.

Resposta

\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \boldsymbol{I}_2.
A matriz \boldsymbol{A} é simétrica, ortogonal e involutória.

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