Dadas as matrizes \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{rrr}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right], \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{rr}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{array}\right], \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{lll}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2}\end{array}\right] e \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{rr}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{array}\right] :
Calcular \boldsymbol{E} \boldsymbol{E}^{\boldsymbol{T}} e classificar a matriz \boldsymbol{E}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\\[6pt] -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6}\\[6pt] 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}
e pede (a) o produto \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T} e (b) a classificação de \boldsymbol{E}. Vamos usar definições de produto de matrizes e de matrizes ortogonais.]

Passo 2

Lembramos que, para uma matriz real \boldsymbol{E} de ordem 3, o elemento (i,j) de \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T} é o produto escalar da linha i de \boldsymbol{E} com a linha j de \boldsymbol{E}. Se \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T}=\boldsymbol{I}_{3}, então \boldsymbol{E} é ortogonal.

Passo 3

Calculando as entradas de \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T} via produtos escalares entre as linhas de \boldsymbol{E}, obtém-se
\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\boldsymbol{I}_{3}.

Passo 4

Como \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T}=\boldsymbol{I}_{3}, a matriz \boldsymbol{E} é ortogonal. Além disso, usando a regra de Sarrus ou produto vetorial para três vetores linha, verifica-se que
\det(\boldsymbol{E})=1,
logo \boldsymbol{E} pertence ao grupo especial ortogonal \mathrm{SO}(3): é uma matriz ortogonal própria (rotação).

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{E}^{T}=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \boldsymbol{E} é uma matriz ortogonal com \det(\boldsymbol{E})=1, ou seja, \boldsymbol{E}\in\mathrm{SO}(3).

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