Dadas as matrizes \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{rrr}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right], \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{rr}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{array}\right], \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{lll}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2}\end{array}\right] e \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{rr}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{array}\right] :
Calcular \boldsymbol{J}^{\mathbf{2}} e classificar a matriz \boldsymbol{J}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\boldsymbol{J} = \begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix}
e pede para calcular \boldsymbol{J}^2 e em seguida classificar \boldsymbol{J}.
O conteúdo aqui envolve multiplicação de matrizes, idempotência (se \boldsymbol{J}^2=\boldsymbol{J}), e conceitos de determinante, posto e autovalores para caracterizar se é projetor, invertível etc.

Passo 2

Vamos multiplicar \boldsymbol{J} por si mesma:
\boldsymbol{J}^2 = \begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix}.
Calculando entrada a entrada, temos
(\boldsymbol{J}^2)_{11} = 5\cdot5 + 10\cdot(-2) = 25 - 20 = 5,
(\boldsymbol{J}^2)_{12} = 5\cdot10 + 10\cdot(-4) = 50 - 40 = 10,
(\boldsymbol{J}^2)_{21} = -2\cdot5 + (-4)\cdot(-2) = -10 + 8 = -2,
(\boldsymbol{J}^2)_{22} = -2\cdot10 + (-4)\cdot(-4) = -20 + 16 = -4.

Passo 3

Portanto
\boldsymbol{J}^2 = \begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix} = \boldsymbol{J}.
Isto mostra que \boldsymbol{J} é idempotente, ou seja, um projetor ( \boldsymbol{J}^2=\boldsymbol{J}).

Passo 4

Para aprofundar a classificação, note que
\det(\boldsymbol{J}) = 5\cdot(-4) - 10\cdot(-2) = -20 + 20 = 0,
logo \boldsymbol{J} é singular (não invertível).
O posto de \boldsymbol{J} é 1, pois as colunas são proporcionais \bigl((10,-4)=2\,(5,-2)\bigr).
Os autovalores vêm da equação característica \lambda^2-\mathrm{tr}(\boldsymbol{J})\,\lambda+\det(\boldsymbol{J})=0, ou seja
\lambda^2 - (5+(-4))\lambda + 0 = \lambda^2 - \lambda = 0, com raízes \lambda=0 e \lambda=1.
Como os autovalores são distintos, \boldsymbol{J} é diagonalizável e, por \boldsymbol{J}^2=\boldsymbol{J}, é um projetor (não ortogonal, pois não é simétrica).

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{J}^2 = \begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix} = \boldsymbol{J}.
A matriz \boldsymbol{J} é idempotente (projetor), singular (não invertível), de posto 1, com autovalores 0 e 1, e por ter autovalores distintos é diagonalizável.

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