Dadas as matrizes \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{rrr}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right], \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{rr}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{array}\right], \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{lll}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2}\end{array}\right] e \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{rr}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{array}\right] :
Calcular \boldsymbol{H}^{\mathbf{3}} e classificar a matriz \boldsymbol{H}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \boldsymbol{H}^3 e, a partir disso, classificar a matriz \boldsymbol{H}. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e o conceito de matriz nilpotente (isto é, alguma potência igual à matriz nula).

Passo 2

Primeiro calculamos \boldsymbol{H}^2=\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{H}. Multiplicando
\boldsymbol{H}=\begin{pmatrix} -\tfrac12 & -\tfrac52 & 1\\\\ -\tfrac12 & -1 & \tfrac12\\\\ -\tfrac32 & -3 & \tfrac32 \end{pmatrix}
por si mesma, obtemos
\boldsymbol{H}^2 =\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & \tfrac{9}{4} & -\tfrac{3}{4} \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos \boldsymbol{H}^3=\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{H}^2. Como a primeira coluna de \boldsymbol{H}^2 é zero e as outras colunas são combinações que se anulam ao multiplicar por \boldsymbol{H}, resulta
\boldsymbol{H}^3 =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Visto que \boldsymbol{H}^3=\boldsymbol{0} mas \boldsymbol{H}^2\neq\boldsymbol{0}, concluímos que \boldsymbol{H} é uma matriz nilpotente de índice 3. Em particular, todos os autovalores são zero e \boldsymbol{H} não é invertível.

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{H}^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, e \boldsymbol{H} é nilpotente (índice 3).

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