O enunciado pede para calcular \boldsymbol{H}^3 e, a partir disso, classificar a matriz \boldsymbol{H}. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e o conceito de matriz nilpotente (isto é, alguma potência igual à matriz nula).
Passo 2
Primeiro calculamos \boldsymbol{H}^2=\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{H}. Multiplicando
Agora calculamos \boldsymbol{H}^3=\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{H}^2. Como a primeira coluna de \boldsymbol{H}^2 é zero e as outras colunas são combinações que se anulam ao multiplicar por \boldsymbol{H}, resulta
Visto que \boldsymbol{H}^3=\boldsymbol{0} mas \boldsymbol{H}^2\neq\boldsymbol{0}, concluímos que \boldsymbol{H} é uma matriz nilpotente de índice 3. Em particular, todos os autovalores são zero e \boldsymbol{H} não é invertível.
Resposta
\displaystyle \boldsymbol{H}^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, e \boldsymbol{H} é nilpotente (índice 3).