Dadas as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -7 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \\\\ 5 & -9 & 6\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr}0 & -9 & 3 \\\\ 4 & 8 & 1 \\\\ 7 & 3 & 1\end{array}\right] e \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{rrr}4 & 3 & 5 \\\\ -1 & 2 & -7 \\\\ 8 & 1 & -9\end{array}\right] :
Classificar \boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}^{\boldsymbol{T}}.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C} mas só precisamos de \boldsymbol{B} para classificar \boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}^{T}. O conteúdo aqui é verificar se uma matriz é simétrica M^{T}=M ou antissimétrica M^{T}=-M.

Passo 2

Lembrando as definições:
– A transposta de uma matriz \boldsymbol{M} é \boldsymbol{M}^{T}, obtida trocando linhas por colunas.
\boldsymbol{M} é simétrica se
\boldsymbol{M}^{T}=\boldsymbol{M},
e é antissimétrica (ou skew-symmetric) se
\boldsymbol{M}^{T}=-\boldsymbol{M}.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de \boldsymbol{B}.
\boldsymbol{B} =\begin{pmatrix} 0 & -9 & 3\\\\ 4 & 8 & 1\\\\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{B}^{T} =\begin{pmatrix} 0 & 4 & 7\\\\ -9 & 8 & 3\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 4

Agora calculamos
\boldsymbol{M}=\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}^{T} =\begin{pmatrix} 0 & -9 & 3\\\\ 4 & 8 & 1\\\\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 4 & 7\\\\ -9 & 8 & 3\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -13 & -4\\\\ 13 & 0 & -2\\\\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Vamos verificar a transposta de \boldsymbol{M}:
\boldsymbol{M}^{T} =\begin{pmatrix} 0 & 13 & 4\\\\ -13 & 0 & 2\\\\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 0 & -13 & -4\\\\ 13 & 0 & -2\\\\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} =-\boldsymbol{M}.
Como \boldsymbol{M}^{T}=-\boldsymbol{M}, concluímos que \boldsymbol{M} é antissimétrica.

Resposta

A matriz \boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}^{T} é antissimétrica (skew-symmetric).

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