e pede para “classificar” A\,A^{T}. Como regra geral, para qualquer matriz real A de tamanho n\times n vale que A\,A^{T} é simétrica e positiva semidefinida. Se ainda por cima A for invertível, então A\,A^{T} é definida positiva. Vamos verificar esses pontos.
Passo 2
Mostrar que A\,A^{T} é simétrica. Basta usar a propriedade (M N)^{T}=N^{T}M^{T}:
Logo A\,A^{T} é positiva semidefinida, e o único caso de \|A^{T}x\|^{2}=0 é quando A^{T}x=0.
Passo 4
Verificar que A é invertível (o que garante que A^{T}x=0 só tem solução x=0, elevando a semidefinição a definição positiva). Calculando o determinante de A: