Dadas as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -7 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \\\\ 5 & -9 & 6\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr}0 & -9 & 3 \\\\ 4 & 8 & 1 \\\\ 7 & 3 & 1\end{array}\right] e \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{rrr}4 & 3 & 5 \\\\ -1 & 2 & -7 \\\\ 8 & 1 & -9\end{array}\right] :
Classificar \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{T}}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -7 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 5 & -9 & 6 \end{pmatrix}
e pede para “classificar” A\,A^{T}. Como regra geral, para qualquer matriz real A de tamanho n\times n vale que A\,A^{T} é simétrica e positiva semidefinida. Se ainda por cima A for invertível, então A\,A^{T} é definida positiva. Vamos verificar esses pontos.

Passo 2

Mostrar que A\,A^{T} é simétrica. Basta usar a propriedade (M N)^{T}=N^{T}M^{T}:
\bigl(A\,A^{T}\bigr)^{T} = \bigl(A^{T}\bigr)^{T}\,A^{T} = A\,A^{T}.
Portanto A\,A^{T} é simétrica.

Passo 3

Mostrar que A\,A^{T} é semidefinida positiva, isto é, para todo vetor x\in\mathbb{R}^{3},
x^{T}\bigl(A\,A^{T}\bigr)x = \bigl(A^{T}x\bigr)^{T}\bigl(A^{T}x\bigr) = \|A^{T}x\|^{2} \ge 0.
Logo A\,A^{T} é positiva semidefinida, e o único caso de \|A^{T}x\|^{2}=0 é quando A^{T}x=0.

Passo 4

Verificar que A é invertível (o que garante que A^{T}x=0 só tem solução x=0, elevando a semidefinição a definição positiva). Calculando o determinante de A:
\det(A) =2\begin{vmatrix}4&2\\\ -9&6\end{vmatrix} -(-7)\begin{vmatrix}3&2\\\ 5&6\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}3&4\\\ 5&-9\end{vmatrix} =2(4\cdot6-2\cdot(-9))+7(3\cdot6-2\cdot5)+1(3\cdot(-9)-4\cdot5) =2\cdot42+7\cdot8+(-47) =84+56-47 =93\neq0.
Como \det(A)\neq0, A é invertível e, portanto, \|A^{T}x\|^{2}=0 implica x=0.

Passo 5

Concluímos que A\,A^{T} é simétrica (Passo 2) e que para todo x\neq0 vale \;x^{T}(A\,A^{T})x=\|A^{T}x\|^{2}>0 (Passos 3 e 4).

Resposta

A\,A^{T} é uma matriz simétrica definida positiva.

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