Dadas as matrizes diagonais \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{2} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{7} & \mathbf{0} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{3}\end{array}\right] e \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{4} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{5} & \mathbf{0} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{6}\end{array}\right], calcular \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} e classificar a matriz \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes diagonais
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 7 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
e pede para calcular C = AB e classificar a matriz C. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes diagonais, que resulta numa matriz diagonal cujos elementos diagonais são o produto dos correspondentes elementos diagonais de A e B.

Passo 2

Para multiplicar duas matrizes diagonais, basta multiplicar cada entrada da diagonal principal de A pela correspondente de B. Assim, se
A = \operatorname{diag}(a_{1},a_{2},a_{3}), \quad B = \operatorname{diag}(b_{1},b_{2},b_{3}),
então
AB = \operatorname{diag}(a_{1}b_{1},\,a_{2}b_{2},\,a_{3}b_{3}).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso temos
C = AB = \operatorname{diag}(2\cdot4,\;7\cdot5,\;3\cdot6) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0\\\\ 0 & 35 & 0\\\\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para classificar C, observamos que:
  1. É uma matriz diagonal.
  2. Seus elementos diagonais são todos não nulos, logo é invertível.
  3. Como toda matriz diagonal real, é simétrica e triangular (superior e inferior).

Resposta

C = AB = \displaystyle\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0\\\\ 0 & 35 & 0\\\\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}.
Classificação de C: matriz diagonal, simétrica, triangular (superior e inferior) e invertível.

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