Dadas as matrizes triangulares inferiores \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ -2 & -1 & 2\end{array}\right] e \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & -3 & -2\end{array}\right], calcular \boldsymbol{A B} e classificar a matriz \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}.

Passo 1

O enunciado pede o produto de duas matrizes triangulares inferiores e a classificação da matriz resultante. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e propriedade de matrizes triangulares: o produto de matrizes triangulares inferiores é triangular inferior.

Passo 2

Como \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são triangulares inferiores, a matriz
\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}
será também triangular inferior. Para obter seus elementos, faz-se a multiplicação linha-por-coluna.

Passo 3

Calculando elemento a elemento:
\begin{aligned} c_{11}&=1\cdot4+0\cdot1+0\cdot(-1)=4,\\\ c_{12}&=1\cdot0+0\cdot(-1)+0\cdot(-3)=0,\\\ c_{13}&=1\cdot0+0\cdot0+0\cdot(-2)=0,\\[6pt] c_{21}&=(-1)\cdot4+3\cdot1+0\cdot(-1)=-4+3=-1,\\\ c_{22}&=(-1)\cdot0+3\cdot(-1)+0\cdot(-3)=-3,\\\ c_{23}&=(-1)\cdot0+3\cdot0+0\cdot(-2)=0,\\[6pt] c_{31}&=(-2)\cdot4+(-1)\cdot1+2\cdot(-1)=-8-1-2=-11,\\\ c_{32}&=(-2)\cdot0+(-1)\cdot(-1)+2\cdot(-3)=1-6=-5,\\\ c_{33}&=(-2)\cdot0+(-1)\cdot0+2\cdot(-2)=-4. \end{aligned}
Assim,
\boldsymbol{C} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ -1&-3&0\\\\ -11&-5&-4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para classificar \boldsymbol{C} notamos que ela é triangular inferior (todos os termos acima da diagonal são zero). Além disso, seus elementos diagonais são 4, -3 e -4, todos não nulos, logo \det(\boldsymbol{C})=4\cdot(-3)\cdot(-4)=48\neq0, isto é, \boldsymbol{C} é inversível.

Resposta

\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ -1&-3&0\\\\ -11&-5&-4 \end{pmatrix},
que é uma matriz triangular inferior e inversível.

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