Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), determine: \left(A^{-1}\right)^{t}.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\\ 5 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}
e pede \bigl(A^{-1}\bigr)^{t}. Aqui vamos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 2\times2 e, depois, aplicar a transposição. A matriz B não é necessária para este cálculo.
Passo 2
Calcular o determinante de A. Para
A = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}
temos
\det(A) = ad - bc.
No nosso caso, a=3, b=1, c=5, d=2, logo
\det(A) = 3\cdot2 - 1\cdot5 = 6 - 5 = 1.
Passo 3
Usar a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a=3, b=1, c=5, d=2 e \det(A)=1, obtemos