Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), determine:
A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[6pt] 5 & 2\end{pmatrix}
e pede sua inversa A^{-1}. O conteúdo usado é a fórmula do inverso de uma matriz 2\times 2:
se
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então, desde que \det(A)\neq0,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 3\cdot2 - 5\cdot1 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, a inversa existe.

Passo 3

Aplicando a fórmula, temos
A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] -5 & 3\end{pmatrix}.]

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