Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), determine:
\left(A^{t}\right)^{-1};

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\[6pt]5 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}
e pede (A^t)^{-1}. O conteúdo aqui é matriz transposta e matriz inversa. Vamos usar a propriedade
(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t
e a fórmula do inverso de matrizes 2\times2.]

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para
A = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
temos \det(A)=ad-bc. Logo,
\det(A) = 3\cdot2 - 1\cdot5 = 6 - 5 = 1.]

Passo 3

Aplicar a fórmula do inverso de matriz 2\times2:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Usar (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t. Então basta transpor A^{-1}:
(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t = \begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

(A^t)^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.]

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