Dadas as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 3 \\\\ 4 & -2 & 5 \\\\ -1 & 2 & 7\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & -1 \\\\ 3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 5\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 4 & 6 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] Obtenha
BC

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes A, B e C de ordem 3\times3 e pede para obter o produto BC. O conteúdo necessário é multiplicação de matrizes, que usa o produto escalar entre linhas de B e colunas de C.

Passo 2

Pela definição de produto de matrizes, o elemento (i,j) de BC é dado por
(BC)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj}.
Vamos aplicar isso para cada linha de B e cada coluna de C.

Passo 3

Calcular a primeira linha de BC. A primeira linha de B é [2,4,-1]. As colunas de C são
\begin{bmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}2\\\ 4\\\ 0\end{bmatrix} e
\begin{bmatrix}0\\\ 6\\\ -1\end{bmatrix}. Assim:
(BC)_{11} = 2\cdot(-1) + 4\cdot3 + (-1)\cdot1 = -2 + 12 -1 = 9,
(BC)_{12} = 2\cdot2 + 4\cdot4 + (-1)\cdot0 = 4 + 16 + 0 = 20,
(BC)_{13} = 2\cdot0 + 4\cdot6 + (-1)\cdot(-1) = 0 + 24 + 1 = 25.

Passo 4

Calcular a segunda linha de BC. A segunda linha de B é [3,0,1]. Usando as mesmas colunas de C:
(BC)_{21} = 3\cdot(-1) + 0\cdot3 + 1\cdot1 = -3 + 0 + 1 = -2,
(BC)_{22} = 3\cdot2 + 0\cdot4 + 1\cdot0 = 6 + 0 + 0 = 6,
(BC)_{23} = 3\cdot0 + 0\cdot6 + 1\cdot(-1) = 0 + 0 -1 = -1.

Passo 5

Calcular a terceira linha de BC. A terceira linha de B é [1,2,5]. Novamente:
(BC)_{31} = 1\cdot(-1) + 2\cdot3 + 5\cdot1 = -1 + 6 + 5 = 10,
(BC)_{32} = 1\cdot2 + 2\cdot4 + 5\cdot0 = 2 + 8 + 0 = 10,
(BC)_{33} = 1\cdot0 + 2\cdot6 + 5\cdot(-1) = 0 + 12 -5 = 7.

Passo 6

Reunindo todos os elementos calculados, o produto BC é a matriz
BC = \begin{pmatrix} 9 & 20 & 25 \\\\ -2 & 6 & -1 \\\\ 10 & 10 & 7 \end{pmatrix}.

Resposta

BC = \begin{pmatrix} 9 & 20 & 25 \\\\ -2 & 6 & -1 \\\\ 10 & 10 & 7 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados