Dadas as medidas \mathrm{X}=\left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e \mathrm{Y}\left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right), calcular a expressão para \sigma_{\mathrm{F}} : F(X)=a b^{X}
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Foi dada a medida \mathrm{X} = \left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{X}}\right). (Notei que no enunciado apareceu \sigma_{\mathrm{s}}; vou usar a notação \sigma_{\mathrm{X}} para a incerteza em X.)
Também foi indicada uma medida \mathrm{Y} = \left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{Y}}\right), mas a função pedida depende somente de X, então \mathrm{Y} não entra no cálculo de \sigma_{F}.
A função é \displaystyle F(X) = a\,b^{X}, em que a e b são constantes (assumimos que são valores conhecidos e exatos).
O objetivo: encontrar a expressão para a incerteza \sigma_{F} associada a F dada a incerteza \sigma_{X} em X.
Passo 2
Princípio da propagação de erros (ideia e fórmula básica).
Quando temos uma função \displaystyle F(X) e X tem incerteza pequena \sigma_{X}, podemos aproximar a variação de F por expansão linear (primeira ordem). Isso diz que uma pequena variação \delta X causa em F uma variação aproximada \delta F \approx \dfrac{dF}{dX}\,\delta X.
Se a incerteza em X é aleatória e pequena, a incerteza em F é dada por
Aqui \dfrac{dF}{dX} é a derivada de F em relação a X avaliada no valor nominal X=x. O valor absoluto aparece porque incerteza é magnitude (não queremos sinal).
Passo 3
Preparar F para derivar: escrever em forma exponencial (isso facilita a conta).
Podemos reescrever b^{X} usando exponencial e logaritmo natural:
b^{X} = e^{X\ln b}.
Assim
F(X) = a\,b^{X} = a\,e^{X\ln b}.
Observação importante sobre domínio: para que \ln b seja real e b^{X} bem definido para todo X real, normalmente assumimos b>0. Se b\le 0 o problema fica mais delicado (potências não inteiras podem não ser reais).
Passo 4
Calcular a derivada \dfrac{dF}{dX} passo a passo (regra da cadeia).
Partimos de \displaystyle F(X)=a\,e^{X\ln b}. A derivada de e^{u} em relação a X é e^{u}\,\dfrac{du}{dX}. Aqui u=X\ln b e \dfrac{du}{dX}=\ln b.
Logo,
\frac{dF}{dX} = a\,e^{X\ln b}\cdot \ln b.
Voltando à forma com b^{X},
\frac{dF}{dX} = a\,b^{X}\,\ln b.
Note que a\,b^{X} é exatamente F(X), então outra forma conveniente é
\frac{dF}{dX} = F(X)\,\ln b.
Passo 5
Aplicar a fórmula de propagação de erros usando a derivada encontrada.
Explicando os termos: \bigl|F(X)\bigr| é o valor absoluto do valor nominal da função, \bigl|\ln b\bigr| mede a sensibilidade exponencial à variação de X, e \sigma_{X} é a incerteza em X. A estimativa é válida para incertezas pequenas (aproximação linear) e quando a,b são considerados exatos.