Dadas as medidas \mathrm{X}=\left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e \mathrm{Y}\left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right), calcular a expressão para \sigma_{\mathrm{F}} :
\mathrm{F}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\mathrm{X} / \mathrm{Y}

Passo 1

O que o enunciado dá:
\;X = (x \pm \sigma_X), \;Y = (y \pm \sigma_Y).
O que o enunciado pede:
Calcular a expressão para \sigma_F sendo
F(X,Y)=\frac{X}{Y}.

Passo 2

Condição e ideia que vamos usar (sem resolver ainda): quando as incertezas são pequenas em relação aos valores e X e Y são independentes, podemos aproximar a variação de F por uma expansão de primeira ordem (linear) em torno dos valores centrais. Essa aproximação leva à fórmula geral de propagação de incertezas para duas variáveis:
\sigma_F^2 = \left(\frac{\partial F}{\partial X}\right)^{2}\sigma_X^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial Y}\right)^{2}\sigma_Y^2 + 2\frac{\partial F}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}\operatorname{Cov}(X,Y).
Como o enunciado não informa correlação, vamos assumir que X e Y são independentes, portanto \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Isso simplifica para
\sigma_F^2 = \left(\frac{\partial F}{\partial X}\right)^{2}\sigma_X^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial Y}\right)^{2}\sigma_Y^2.
Breve explicação do porquê: a ideia é linearizar F(X+\Delta X,Y+\Delta Y)\approx F(X,Y)+\frac{\partial F}{\partial X}\Delta X+\frac{\partial F}{\partial Y}\Delta Y. Como \Delta X e \Delta Y têm varianças \sigma_X^2 e \sigma_Y^2 e médias zero, a variância de F resulta da soma das contribuições quadráticas ponderadas pelos quadrados das derivadas parciais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F(X,Y)=X/Y.
Derivando em relação a X (tratando Y como constante):
\frac{\partial F}{\partial X}=\frac{1}{Y}.
Derivando em relação a Y (tratando X como constante):
\frac{\partial F}{\partial Y}=-\frac{X}{Y^{2}}.

Passo 4

Substituir as derivadas na fórmula de propagação (assumindo \operatorname{Cov}(X,Y)=0):
\sigma_F^2 = \left(\frac{1}{Y}\right)^{2}\sigma_X^2 + \left(-\frac{X}{Y^{2}}\right)^{2}\sigma_Y^2.
Simplificando os quadrados:
\sigma_F^2 = \frac{\sigma_X^2}{Y^{2}} + \frac{X^{2}\,\sigma_Y^2}{Y^{4}}.

Passo 5

Fatorar para obter formas mais intuitivas. Observe que F=\dfrac{X}{Y}, logo F^{2}=\dfrac{X^{2}}{Y^{2}}. Podemos escrever:
\sigma_F^2 = \frac{1}{Y^{2}}\left(\sigma_X^2 + \frac{X^{2}}{Y^{2}}\sigma_Y^2\right) = F^{2}\left(\frac{\sigma_X^2}{X^{2}} + \frac{\sigma_Y^2}{Y^{2}}\right).
Tomando raiz quadrada (e lembrando que incerteza é não negativa), obtemos a forma relativa:
\frac{\sigma_F}{|F|} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_X}{X}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_Y}{Y}\right)^{2}}.
Explicação prática: essa última expressão diz que, para uma divisão, as incertezas relativas se combinam em raiz quadrada da soma dos quadrados, desde que X e Y sejam independentes e as incertezas sejam pequenas.

Passo 6

Escrevendo a expressão final em formas equivalentes úteis (escolha a que for mais prática na prova):
Forma em termos diretos de X,Y,\sigma_X,\sigma_Y:
\sigma_F = \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{Y^{2}} + \frac{X^{2}\,\sigma_Y^2}{Y^{4}}}.
Forma usando o valor de F e incertezas relativas:
\sigma_F = |F|\sqrt{\left(\frac{\sigma_X}{X}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_Y}{Y}\right)^{2}}.

Resposta

\sigma_F = \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{Y^{2}} + \frac{X^{2}\,\sigma_Y^2}{Y^{4}}} = |F|\sqrt{\left(\frac{\sigma_X}{X}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_Y}{Y}\right)^{2}}.

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