Dadas as medidas
e
, calcular a expressão para
:
Passo 1
O que o enunciado dá:
,
.
O que o enunciado pede:
Calcular a expressão para sendo
Calcular a expressão para
Passo 2
Condição e ideia que vamos usar (sem resolver ainda): quando as incertezas são pequenas em relação aos valores e
e
são independentes, podemos aproximar a variação de
por uma expansão de primeira ordem (linear) em torno dos valores centrais. Essa aproximação leva à fórmula geral de propagação de incertezas para duas variáveis:
Como o enunciado não informa correlação, vamos assumir que
e
são independentes, portanto
. Isso simplifica para
Breve explicação do porquê: a ideia é linearizar
. Como
e
têm varianças
e
e médias zero, a variância de
resulta da soma das contribuições quadráticas ponderadas pelos quadrados das derivadas parciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Substituir as derivadas na fórmula de propagação (assumindo
):
Simplificando os quadrados:
Passo 5
Fatorar para obter formas mais intuitivas. Observe que
, logo
. Podemos escrever:
Tomando raiz quadrada (e lembrando que incerteza é não negativa), obtemos a forma relativa:
Explicação prática: essa última expressão diz que, para uma divisão, as incertezas relativas se combinam em raiz quadrada da soma dos quadrados, desde que
e
sejam independentes e as incertezas sejam pequenas.
Passo 6
Escrevendo a expressão final em formas equivalentes úteis (escolha a que for mais prática na prova):
Forma em termos diretos de
:
Forma usando o valor de
e incertezas relativas: