Dadas as retas: ®
\left{ \begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2-3 t\end{array} \quad\right.
e (s) \quad x+y-2=0
Determine:
A taxa de variação (coeficiente angular) da reta r.

Passo 1

O enunciado dá a reta (r) em forma paramétrica:
x = 1 + 2t,\qquad y = 2 - 3t.
A pergunta é: determinar a taxa de variação (coeficiente angular) da reta (r).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As equações paramétricas fornecem a posição em função do parâmetro t.
  • Nada mais é necessário da reta (s) para calcular a inclinação de (r).

Passo 2

Entendendo a forma paramétrica e o que ela nos dá: uma reta em forma paramétrica pode ser escrita como
x = x_0 + a t,\qquad y = y_0 + b t,
onde (x_0,y_0) é um ponto da reta e (a,b) é um vetor diretor da reta (ou seja, uma variação de x e y quando o parâmetro t aumenta de 1). Aqui:
  • a é a variação de x por unidade de t,
  • b é a variação de y por unidade de t.
O coeficiente angular m (a inclinação da reta) é a razão entre a variação em y e a variação em x. Logo, se o vetor diretor é (a,b) e a\neq 0, então
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{b}{a}.
Esta fórmula vem direto de observar dois valores de t: para t_1 e t_2,
\frac{y(t_2)-y(t_1)}{x(t_2)-x(t_1)}=\frac{b(t_2-t_1)}{a(t_2-t_1)}=\frac{b}{a},
ou seja, independe da escolha dos t.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: comparar com a forma padrão, obtemos o vetor diretor
(a,b)=(2,-3),
portanto o coeficiente angular é
m=\frac{b}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 4

Verificação por eliminação do parâmetro (método alternativo): isolar t de x:
t=\frac{x-1}{2}.
Substituir em y:
y = 2 - 3\left(\frac{x-1}{2}\right).
Desenvolvendo:
y = 2 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}= -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}.
Nesta forma y=mx+b fica claro que m=-\dfrac{3}{2}, confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Interpretação prática e dica para a prova: m=-\dfrac{3}{2} significa que a reta desce quando x aumenta; para cada aumento de 2 unidades em x, y diminui 3 unidades. Método rápido na prova: a partir da forma paramétrica pegue o vetor diretor (\Delta x,\Delta y) e calcule m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

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