Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Calcule o Wronskiano
.
determine o que se pede em cada item:
Calcule o Wronskiano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial da forma
. Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano das duas soluções dessa equação, denotado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Wronskiano. Ele é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. A fórmula do Wronskiano para duas funções
e
é dada por:
Isso significa que calculamos o determinante formado pelas funções e suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos considerar a Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem que temos:
Essa equação pode ser escrita de forma geral como:
Onde, no nosso caso,
e
.
Passo 4
Existe um teorema chamado Teorema de Abel, que nos diz como o Wronskiano se comporta para equações diferenciais lineares. Segundo o teorema, o Wronskiano satisfaz a seguinte relação:
No nosso caso, como
, temos:
Passo 5
Quando a derivada do Wronskiano é zero, isso significa que o Wronskiano é uma constante. Ou seja:
Portanto, o valor do Wronskiano em qualquer ponto
, inclusive em
, será o mesmo.
Resposta
O Wronskiano
é uma constante.