Dadas as seguintes equações diferenciais
y'' + x^2 y = 0
determine o que se pede em cada item:
Calcule o Wronskiano W(y1, y2)(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial da forma . Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano das duas soluções dessa equação, denotado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Wronskiano. Ele é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. A fórmula do Wronskiano para duas funções e é dada por:
Isso significa que calculamos o determinante formado pelas funções e suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos considerar a Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem que temos:
Essa equação pode ser escrita de forma geral como:
Onde, no nosso caso, e .

Passo 4

Existe um teorema chamado Teorema de Abel, que nos diz como o Wronskiano se comporta para equações diferenciais lineares. Segundo o teorema, o Wronskiano satisfaz a seguinte relação:
No nosso caso, como , temos:

Passo 5

Quando a derivada do Wronskiano é zero, isso significa que o Wronskiano é uma constante. Ou seja:
Portanto, o valor do Wronskiano em qualquer ponto , inclusive em , será o mesmo.

Resposta

O Wronskiano é uma constante.

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