Dadas as seguintes tensões: \sigma_{\mathrm{xx}}=3,5 \mathrm{MPa} \quad \sigma_{\mathrm{yy}}=-7 \mathrm{MPa} \quad \sigma_{\mathrm{xy}}=1,4 \mathrm{MPa}, qual a tensão normal para um plano tendo a normal com a seguinte direção: \boldsymbol{\varepsilon}=0,707 \mathbf{i}+0,707 \mathbf{j} ?.

Passo 1

O enunciado fornece as componentes do tensor de tensões planas em coordenadas cartesianas, \sigma_{\mathrm{xx}}=3,5\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{\mathrm{yy}}=-7\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{\mathrm{xy}}=1,4\\ \mathrm{MPa},
e pede a tensão normal \sigma_n num plano cuja normal unitária é \boldsymbol{\varepsilon}=(0,707\,\mathbf{i}+0,707\,\mathbf{j}).
O conteúdo envolvido é a determinação da tensão normal num plano qualquer usando
a fórmula de contração dupla do tensor de tensões com o vetor normal.

Passo 2

Na teoria da resistência dos materiais, a tensão normal num plano de normal \mathbf{n} é dada por
\sigma_n = n_i\,\sigma_{ij}\,n_j
onde \sigma_{ij} são as componentes do tensor de tensões e n_i são as componentes do vetor normal unitário.

Passo 3

Chamando n_x=0,707 e n_y=0,707, temos
\sigma_n = \sigma_{\mathrm{xx}}\,n_x^2 + \sigma_{\mathrm{yy}}\,n_y^2 + 2\,\sigma_{\mathrm{xy}}\,n_x\,n_y.
Cada termo corresponde à projeção do tensor de tensões na direção do normal.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e lembrando que 0,707^2\approx0,5,
\sigma_n = 3,5\cdot0,5 + (-7)\cdot0,5 + 2\cdot1,4\cdot0,5 = 1,75 - 3,5 + 1,4 = -0,35\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_n = -0,35\\ \mathrm{MPa}

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