As componentes de tensão nos planos paralelos a x y z em um ponto são conhecidas como sendo:
\sigma_{\mathrm{xx}}=7 \mathrm{MPa} \quad \sigma_{\mathrm{yy}}=4,2 \mathrm{MPa} \quad \sigma_{\mathrm{zz}}=0 \quad \sigma_{\mathrm{xy}}=1,4 \mathrm{MPa} \quad \sigma_{\mathrm{xz}}=0 \quad \sigma_{\mathrm{yz}}=-2,8 \mathrm{MPa}
Qual a tensão normal na direção \boldsymbol{\varepsilon} tal que \boldsymbol{\varepsilon}=0,11 \mathbf{i}+0,35 \mathbf{j}+\mathbf{a k}, para “a” positivo? (Observe que “a” pode ser obtido facilmente considerando que o vetor é unitário)

Passo 1

Temos o tensor de tensões em coordenadas cartesianas com componentes \sigma_{xx}=7 MPa, \sigma_{yy}=4{,}2 MPa, \sigma_{zz}=0, \sigma_{xy}=1{,}4 MPa, \sigma_{xz}=0, \sigma_{yz}=-2{,}8 MPa.
Queremos a tensão normal na direção do vetor \boldsymbol{\varepsilon} = 0{,}11\,\mathbf{i} + 0{,}35\,\mathbf{j} + a\,\mathbf{k},
sendo \boldsymbol{\varepsilon} unitário. Usaremos a fórmula da transformação de tensões \sigma_n = \varepsilon_i\,\sigma_{ij}\,\varepsilon_j.

Passo 2

Como \boldsymbol{\varepsilon} é unitário, aplicamos
\|\boldsymbol{\varepsilon}\|^2 = (0{,}11)^2 + (0{,}35)^2 + a^2 = 1
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a = \sqrt{\,1 - 0{,}11^2 - 0{,}35^2\,} = \sqrt{\,1 - 0{,}0121 - 0{,}1225\,} = \sqrt{0{,}8654} \approx 0{,}9303.

Passo 3

A tensão normal na direção \boldsymbol{\varepsilon} é dada por
\sigma_n = \epsilon_x^2\,\sigma_{xx} + \epsilon_y^2\,\sigma_{yy} + \epsilon_z^2\,\sigma_{zz} + 2\,\epsilon_x\epsilon_y\,\sigma_{xy} + 2\,\epsilon_x\epsilon_z\,\sigma_{xz} + 2\,\epsilon_y\epsilon_z\,\sigma_{yz}.

Passo 4

Substituindo \epsilon_x=0{,}11, \epsilon_y=0{,}35, \epsilon_z=a e os \sigma_{ij}:
\sigma_n = 7\cdot(0{,}11)^2 + 4{,}2\cdot(0{,}35)^2 + 0\cdot a^2 + 2\cdot1{,}4\cdot0{,}11\cdot0{,}35 + 2\cdot0\cdot0{,}11\cdot a + 2\cdot(-2{,}8)\cdot0{,}35\cdot a.
Calculando cada termo:
7\cdot0{,}11^2 = 0{,}0847,\quad 4{,}2\cdot0{,}35^2 = 0{,}5145,\quad 2\cdot1{,}4\cdot0{,}11\cdot0{,}35 = 0{,}1078,
2\cdot(-2{,}8)\cdot0{,}35\cdot a = -1{,}96\,a.
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\sigma_n = 0{,}0847 + 0{,}5145 + 0{,}1078 - 1{,}96\,a = 0{,}7070 - 1{,}96\,a.

Passo 5

Com a\approx0{,}9303:
\sigma_n \approx 0{,}7070 - 1{,}96\times0{,}9303 = 0{,}7070 - 1{,}8224 \approx -1{,}1154\text{ MPa}.

Resposta

A tensão normal na direção dada é aproximadamente -1{,}12 MPa.

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