Dadas as superficies
e
.
a) Classifique as superficies.
a) Classifique as superficies.
Passo 1
O enunciado pede a classificação de duas superfícies quádricas: a curva em
\(
\frac{x{2}}{7}+\frac{4y{2}}{7}=1
\
) que não envolve e o gráfico de
\(
\frac{x{2}}{7}+\frac{4y{2}}{7}=1
\
) que não envolve
\(
z=\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}
\
).
Para isso precisamos reconhecer em cada caso a forma padrão de superfícies quádricas em .
z=\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}
\
).
Para isso precisamos reconhecer em cada caso a forma padrão de superfícies quádricas em
Passo 2
A primeira equação não envolve a variável
. Isto significa que, para qualquer valor de
, os pares
satisfazem a curva elíptica
\(
\frac{x{2}}{7}+\frac{4y{2}}{7}=1
\
)
\frac{x{2}}{7}+\frac{4y{2}}{7}=1
\
)
Logo, geometricamente temos uma reta paralela ao eixo
passando por cada ponto da elipse em
. Isso é a definição de um cilindro elíptico.
Passo 3
A segunda equação dá
como soma de quadráticos positivos em
e
:
\(
z=\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}
\
)
z=\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}
\
)
Esta é a forma padrão de um paraboloide elíptico que abre para cima (eixo de eixo de simetria paralelo a
).
Resposta
A primeira superfície é um cilindro elíptico, e a segunda é um paraboloide elíptico.