Dadas as superficies x^27+4 y^27=1 e z=x^24+y^29.
a) Classifique as superficies.

Passo 1

O enunciado pede a classificação de duas superfícies quádricas: a curva em
\(
\frac{x{2}}{7}+\frac{4y{2}}{7}=1
\
) que não envolve z e o gráfico de
\(
z=\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}
\
).
Para isso precisamos reconhecer em cada caso a forma padrão de superfícies quádricas em R^3.

Passo 2

A primeira equação não envolve a variável z. Isto significa que, para qualquer valor de z, os pares (x,y) satisfazem a curva elíptica
\(
\frac{x{2}}{7}+\frac{4y{2}}{7}=1
\
)
Logo, geometricamente temos uma reta paralela ao eixo z passando por cada ponto da elipse em xy. Isso é a definição de um cilindro elíptico.

Passo 3

A segunda equação dá z como soma de quadráticos positivos em x e y:
\(
z=\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}
\
)
Esta é a forma padrão de um paraboloide elíptico que abre para cima (eixo de eixo de simetria paralelo a z).

Resposta

A primeira superfície é um cilindro elíptico, e a segunda é um paraboloide elíptico.

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