Dado a12=a23=a13=0.1 m^2, A1=20 m^2, A2=20 m^2, encontre o equilíbrio estado (barx1, barx2) obtido com uma entrada constante baru=[1,0] m^3 / s, aproximando a aceleração da gravidade como g approx 10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equilíbrio em estado estacionário envolvendo dois reservatórios. O enunciado nos dá as áreas de conexão entre eles ( a12=a23=a13=0.1 m^2), as áreas dos reservatórios ( A1=20 m^2, A2=20 m^2), e uma entrada constante de água baru=[1,0] m^3 / s. Queremos encontrar o ponto de equilíbrio (barx1, barx2) considerando a aceleração da gravidade g approx 10 m / s^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de fluido e leis de conservação, aplicando um modelo matemático que relaciona essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em equilíbrio, a entrada de água deve ser igual à saída. Vamos considerar que barx1 e barx2 representam os níveis de água nos dois reservatórios. A água flui das áreas de conexão aij de acordo com a diferença de altura dos níveis, proporcional à área e à gravidade.

Passo 3

A taxa de fluxo entre dois reservatórios pode ser descrita pela fórmula:
Qij = aij raiz2g(barxi - barxj)
Isso significa que o fluxo de i para j depende da área de conexão aij, da gravidade g, e da diferença de altura entre os níveis de água.

Passo 4

Como estamos no estado de equilíbrio, a soma dos fluxos que entram e saem de cada reservatório deve ser igual à entrada fornecida baru. Vamos montar as equações de equilíbrio para cada reservatório.
Para o reservatório 1:
baru1 = Q12 + Q13
Para o reservatório 2:
baru2 = Q23 - Q12
Como baru2 = 0, a segunda equação fica:
0 = Q23 - Q12

Passo 5

Substituindo as expressões dos fluxos:
Para o reservatório 1:
1 = 0.1 raiz2 times 10 (barx1 - barx2) + 0.1 raiz2 times 10 barx1
Para o reservatório 2:
0 = 0.1 raiz2 times 10 barx2 - 0.1 raiz2 times 10 (barx1 - barx2)

Passo 6

Vamos simplificar as equações. Primeiro, note que raiz2 times 10 = raiz20 approx 4.472.
Então:
Para o reservatório 1:
1 = 0.1 times 4.472 (barx1 - barx2)^0.5 + 0.1 times 4.472 barx1^0.5
Para o reservatório 2:
0 = 0.1 times 4.472 barx2^0.5 - 0.1 times 4.472 (barx1 - barx2)^0.5

Passo 7

Simplificando ainda mais, dividindo ambos os lados por 0.1 times 4.472 approx 0.4472:
Para o reservatório 1:
10.4472 approx 2.236 = (barx1 - barx2)^0.5 + barx1^0.5
Para o reservatório 2:
0 = barx2^0.5 - (barx1 - barx2)^0.5

Passo 8

Da segunda equação, temos:
barx2^0.5 = (barx1 - barx2)^0.5
Elevando ambos os lados ao quadrado:
barx2 = barx1 - barx2
Então:
2barx2 = barx1 Rightarrow barx1 = 2barx2

Passo 9

Substituindo barx1 = 2barx2 na primeira equação:
2.236 = (barx1 - barx2)^0.5 + barx1^0.5
Substituindo barx1:
2.236 = (barx2)^0.5 + (2barx2)^0.5
Simplificando:
2.236 = raizbarx2 + raiz2barx2 = raizbarx2 (1 + raiz2)

Passo 10

Isolando raizbarx2:
raizbarx2 = 2.2361 + raiz2 approx 2.2362.4142 approx 0.926
Elevando ao quadrado:
barx2 approx (0.926)^2 approx 0.857 m
E como barx1 = 2barx2:
barx1 approx 2 times 0.857 approx 1.714 m

Resposta

O equilíbrio estado é (barx1, barx2) approx (1.714 m, 0.857 m).

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