Dado
, encontre o equilíbrio estado
obtido com uma entrada constante
, aproximando a aceleração da gravidade como
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equilíbrio em estado estacionário envolvendo dois reservatórios. O enunciado nos dá as áreas de conexão entre eles (
), as áreas dos reservatórios (
,
), e uma entrada constante de água
. Queremos encontrar o ponto de equilíbrio
considerando a aceleração da gravidade
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de fluido e leis de conservação, aplicando um modelo matemático que relaciona essas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em equilíbrio, a entrada de água deve ser igual à saída. Vamos considerar que
e
representam os níveis de água nos dois reservatórios. A água flui das áreas de conexão
de acordo com a diferença de altura dos níveis, proporcional à área e à gravidade.
Passo 3
A taxa de fluxo entre dois reservatórios pode ser descrita pela fórmula:
Isso significa que o fluxo de
para
depende da área de conexão
, da gravidade
, e da diferença de altura entre os níveis de água.
Passo 4
Como estamos no estado de equilíbrio, a soma dos fluxos que entram e saem de cada reservatório deve ser igual à entrada fornecida
. Vamos montar as equações de equilíbrio para cada reservatório.
Para o reservatório 1:
Para o reservatório 2:
Como
, a segunda equação fica:
Passo 5
Substituindo as expressões dos fluxos:
Para o reservatório 1:
Para o reservatório 2:
Passo 6
Vamos simplificar as equações. Primeiro, note que
.
Então:
Para o reservatório 1:
Para o reservatório 2:
Passo 7
Simplificando ainda mais, dividindo ambos os lados por
:
Para o reservatório 1:
Para o reservatório 2:
Passo 8
Da segunda equação, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então:
Passo 9
Substituindo
na primeira equação:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 10
Isolando
:
Elevando ao quadrado:
E como
:
Resposta
O equilíbrio estado é
.