Na linguagem de programação de sua escolha, simule a resposta de dois sistemas a entrada ao degrau de amplitude
de sua escolha e discuta seus resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, usando uma linguagem de programação (pode ser Python, por exemplo), simular como dois sistemas respondem a uma entrada em degrau com amplitude
que a gente escolher. Basicamente, vamos precisar entender o que é uma entrada em degrau, como os sistemas respondem a ela e depois programar isso para ver os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma entrada em degrau. É uma função que muda de zero para um valor constante
de repente, tipo um interruptor ligado de uma vez só. Matematicamente, a entrada em degrau pode ser representada como:
Esse tipo de entrada é muito usado para testar sistemas porque nos ajuda a ver como o sistema reage a uma mudança súbita.
Passo 3
Agora, precisamos definir o que são os dois sistemas que vamos simular. Vamos supor que são dois sistemas de primeira ordem diferentes, cada um com sua própria constante de tempo (
). A resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada em degrau é dada pela equação:
Onde:
-
é a saída do sistema no tempo . -
é a amplitude da entrada em degrau. -
é a constante de tempo do sistema, que determina a rapidez com que o sistema responde.
Passo 4
Vamos escolher a linguagem de programação Python para essa simulação, pois é bastante acessível e tem bibliotecas que facilitam esses cálculos, como o NumPy e o Matplotlib para plotar os resultados.
Passo 5
Vamos definir os parâmetros para os dois sistemas. Por exemplo:
- Sistema 1:
segundo - Sistema 2:
segundos - Amplitude do degrau:
Esses valores nos permitirão ver como diferentes constantes de tempo afetam a resposta do sistema.
Passo 6
Agora, vamos criar uma função em Python que calcula a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada em degrau:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def resposta_degrau(t, A, tau):
return A * (1 - np.exp(-t / tau))
Essa função recebe o tempo
, a amplitude
e a constante de tempo
, e retorna a saída
.
Passo 7
Vamos definir o intervalo de tempo para a simulação. Por exemplo, de 0 a 10 segundos, com pequenos incrementos para ter uma curva suave:
t = np.linspace(0, 10, 1000)
Passo 8
Agora, vamos calcular as respostas para os dois sistemas usando a função que criamos:
A = 5
tau1 = 1
tau2 = 3
y1 = resposta_degrau(t, A, tau1)
y2 = resposta_degrau(t, A, tau2)
Passo 9
Vamos plotar esses resultados para visualizar como cada sistema reage à entrada em degrau:
plt.plot(t, y1, label=f'Sistema 1 (tau={tau1}s)')
plt.plot(t, y2, label=f'Sistema 2 (tau={tau2}s)')
plt.title('Resposta a Degrau de Dois Sistemas de Primeira Ordem')
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Saída y(t)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Passo 10
Ao rodar esse código, você vai ver duas curvas. O Sistema 1, com
segundo, vai atingir o valor de
mais rapidamente, enquanto o Sistema 2, com
segundos, vai levar mais tempo para chegar ao mesmo valor. Isso acontece porque a constante de tempo
indica quão rápido o sistema reage à entrada: quanto menor
, mais rápido a resposta.
Resposta
Simulando as respostas, observamos que o Sistema 1, com uma constante de tempo menor, atinge rapidamente a amplitude
, enquanto o Sistema 2, com uma constante de tempo maior, demora mais para estabilizar no mesmo valor. Isso mostra que a constante de tempo influencia diretamente na rapidez com que um sistema responde a uma entrada em degrau.