Um dado é atirado 180 vezes. Encontre a probabilidade de que o número 5 apareça:
31 vezes;

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que temos aqui. O exercício diz que a gente joga um dado 180 vezes e quer saber a probabilidade de sair exatamente o número 5 em 31 dessas jogadas.
Conteúdo: Probabilidade, Distribuição Binomial.
O que precisamos:
  1. Identificar que se trata de um experimento binomial (fixo número de tentativas, só “sucesso” ou “fracasso”, prob. constante).
  2. Saber usar a fórmula da binomial:
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
X = número de vezes que sai “5” em 180 jogadas.
Como cada face do dado tem probabilidade e as jogadas são independentes,
X ~ Binomial(n=180, p=1/6).

Passo 3

Agora a fórmula entra em cena. Queremos
P(X=31) ;=;binom18031l(tfrac16r)^31l(tfrac56r)^180-31;=; binom18031l(tfrac16r)^31l(tfrac56r)^149
Explicando cada parte:
  • é o número de jeitos de escolher quais 31 jogadas deram 5;
  • é a probabilidade de sair 5 nessas 31;
  • é a probabilidade de não sair 5 nas outras 149.

Passo 4

Calcular mu = n p = 180cdot tfrac16 = 30, sigma^2 = n p(1-p)=180cdottfrac16cdottfrac56=25, sigma=5 e levantar tudo direitinho na prática é meio pesado na mão, então a gente costuma aproximar usando a distribuição Normal, porque P(30.5 < X < 31.5) ;approx; Phi!l(tfrac31.5-305r);-;Phi!l(tfrac30.5-305r) ;=; Phi(0.3)-Phi(0.1) é grande.
Média e variância da binomial:
Para achar pela normal com correção de continuidade, fazemos
Usando tabela ou calculadora de normal:
e .

Resposta

Portanto,
P(X=31);approx;0.6179 - 0.5398 = 0.0781,
ou seja, cerca de 7,81%.

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