Dado cada um dos sistemas lineares A \cdot X=B abaixo, classifique-os com relação ao número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Sugestão: faça a análise do posto das matrizes. A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -2 & 2 \\\\ -1 & 5\end{array}\right) ; \quad X=\binom{x}{y} ; \quad B=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear
A X = B
com
A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ -2 & 2\\\\ -1 & 5 \end{pmatrix},\quad X = \binom{x}{y},\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
e pede a classificação quanto ao número de soluções. Vamos usar análise de posto: calcular \mathrm{rank}(A) e \mathrm{rank}([A\mid B]) e compará-los ao número de incógnitas (que é 2).
Passo 2
Calcular \mathrm{rank}(A). Como A tem 2 colunas, basta verificar se há algum menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas duas primeiras linhas é
Calcular \mathrm{rank}([A\mid B])\). Precisamos ver se \(B\) pertence ao espaço gerado pelas colunas de \(A\). Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}.
Da primeira equação, \alpha=1-3\beta\]. Substituindo na segunda:
\[-2(1-3\beta)+2\beta=3\;\Rightarrow\;-2+6\beta+2\beta=3\;\Rightarrow\;8\beta=5\;\Rightarrow\;\beta=\tfrac{5}{8},\quad \alpha=1-\tfrac{15}{8}=-\tfrac{7}{8}.\]
Na terceira equação temos
\[-(-\tfrac{7}{8})+5\cdot\tfrac{5}{8} =\tfrac{7}{8}+\tfrac{25}{8} =\tfrac{32}{8}=4,\]
o que confirma a consistência. Logo \(B está no espaço coluna de A e
\mathrm{rank}([A\mid B])=2.
Passo 4
Comparando postos e número de incógnitas (n=2):
\mathrm{rank}(A)=2,
\mathrm{rank}([A\mid B])=2,
\mathrm{rank}(A)=n.
Isso implica que o sistema é compatível determinado, ou seja, possui exatamente uma solução.