Dado cada um dos sistemas lineares A \cdot X=B abaixo, classifique-os com relação ao número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Sugestão: faça a análise do posto das matrizes.
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -2 & 2 \\\\ -1 & 5\end{array}\right) ; \quad X=\binom{x}{y} ; \quad B=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
A\,X = B
com
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt] -2 & 2 \\[6pt] -1 & 5\end{pmatrix}, \quad X = \binom{x}{y}, \quad B = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 3 \\[3pt] 0\end{pmatrix},
e pede para classificá-lo quanto ao número de soluções usando análise de posto de matriz.]

Passo 2

Vamos calcular o posto de A. As colunas de A são
c_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix}, \quad c_2 = \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix}.
Elas são independentes, pois não existe \lambda tal que c_2 = \lambda\,c_1 (por exemplo 1\cdot\lambda=3 daria \lambda=3, mas então -2\cdot3\neq2). Logo
\mathrm{rank}(A) = 2.

Passo 3

Agora avaliamos o posto da matriz aumentada [A\mid B]. Se \mathrm{rank}([A\mid B])>\mathrm{rank}(A), o sistema é incompatível (sem solução). Podemos checar se
B = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}
é combinação linear de c_1 e c_2. Tentando resolver
x\,c_1 + y\,c_2 = B
pelos dois primeiros componentes, obtemos y = \tfrac{5}{8} e x=-\tfrac{7}{8}. Mas ao verificar o terceiro componente aparece
-x + 5y = \tfrac{7}{8} + \tfrac{25}{8} = 4 \neq 0,
logo não dá para expressar B como combinação de c_1 e c_2. Isso implica
\mathrm{rank}([A\mid B]) = 3 > 2 = \mathrm{rank}(A).

Passo 4

Como \mathrm{rank}([A\mid B])>\mathrm{rank}(A), o sistema é inconsistente e não possui solução.

Resposta

O sistema não tem solução. (sem solução)

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