Dado cada um dos sistemas lineares A \cdot X=B abaixo, classifique-os com relação ao número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Sugestão: faça a análise do posto das matrizes.
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 7 & 5 \\\\ 2 & 3 & 0\end{array}\right) ; \quad X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right) ; \quad B=\binom{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para classificar o número de soluções do sistema linear A X = B, onde
A = \begin{pmatrix}1 & 7 & 5 \\[6pt] 2 & 3 & 0\end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x \\[3pt] y \\[3pt] z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}3 \\[3pt] 2\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a teoria de sistemas lineares e o Teorema de Rouché–Capelli, que classifica as soluções pelo posto de A e pelo posto da matriz aumentada \left[A\mid B\right].]

Passo 2

Para encontrar o posto de A, basta ver se suas duas linhas são independentes. Calculamos o determinante de um menor 2\times2, por exemplo usando as colunas 1 e 2:
\det\begin{pmatrix}1 & 7 \\[3pt] 2 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot 3 \;- 2\cdot 7 = 3 - 14 = -11 \neq 0.
Como existe um menor não nulo de ordem 2, concluímos que
\text{rank}(A) = 2.]

Passo 3

Agora avaliamos o posto da matriz aumentada \left[A\mid B\right]. Se as duas linhas continuarem independentes ao incluir B, teremos rank igual a 2 também. Por exemplo, considere o menor formado pela coluna 1 de A e pela coluna de B:
\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\[3pt] 2 & 2\end{pmatrix} = 1\cdot 2 \;- 2\cdot 3 = 2 - 6 = -4 \neq 0.
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\text{rank}(\left[A\mid B\right]) = 2.]

Passo 4

Pelo Teorema de Rouché–Capelli, se
\text{rank}(A) = \text{rank}([A\mid B]) < \text{número de incógnitas},úó
o sistema é compatível indeterminado. Aqui temos
\text{rank}(A) = \text{rank}([A\mid B]) = 2 < 3,
portanto o sistema possui infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções.

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