Dado cada um dos sistemas lineares A \cdot X=B abaixo, classifique-os com relação ao número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Sugestão: faça a análise do posto das matrizes. A=\left(\begin{array}{lll}1 & 7 & 5 \\\\ 2 & 3 & 0\end{array}\right) ; \quad X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right) ; \quad B=\binom{3}{2}
Passo 1
O enunciado pede para classificar o número de soluções do sistema linear A X = B, onde
A = \begin{pmatrix}1 & 7 & 5 \\[6pt] 2 & 3 & 0\end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x \\[3pt] y \\[3pt] z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}3 \\[3pt] 2\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a teoria de sistemas lineares e o Teorema de Rouché–Capelli, que classifica as soluções pelo posto de A e pelo posto da matriz aumentada \left[A\mid B\right].]
Passo 2
Para encontrar o posto de A, basta ver se suas duas linhas são independentes. Calculamos o determinante de um menor 2\times2, por exemplo usando as colunas 1 e 2:
Como existe um menor não nulo de ordem 2, concluímos que
\text{rank}(A) = 2.]
Passo 3
Agora avaliamos o posto da matriz aumentada \left[A\mid B\right]. Se as duas linhas continuarem independentes ao incluir B, teremos rank igual a 2 também. Por exemplo, considere o menor formado pela coluna 1 de A e pela coluna de B: