Dado cada um dos sistemas lineares A \cdot X=B abaixo, classifique-os com relação ao número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Sugestão: faça a análise do posto das matrizes.
A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right) ; \quad X=\binom{x}{y} ; \quad B=\binom{0}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[6pt]2 & 3\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\[3pt]2\end{pmatrix}
e pede para classificar o número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Vamos usar a análise de posto: comparar \mathrm{rank}(A) e \mathrm{rank}([A\mid B]) com o número de incógnitas ( n=2).]

Passo 2

Calcular o posto de A. Como é matriz 2\times2, basta verificar o determinante:
\det(A)=1\cdot3-(-2)\cdot2=3+4=7\neq0.
Logo \mathrm{rank}(A)=2.

Passo 3

Formamos a matriz aumentada [A\mid B] e observamos que, como \mathrm{rank}(A)=2 já atinge o máximo possível para duas linhas, a adição da coluna B não pode aumentar o posto. Assim
\mathrm{rank}([A\mid B])=2.
Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid B])=n=2, o sistema é compatível determinado, ou seja, possui única solução.

Resposta

O sistema tem única solução.

Exercícios relacionados