É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente x é dada por:
u=k x y
Deduza a componente v de velocidade;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade que é incompressível e irrotacional, e a componente $ x $ da velocidade é dada por:
x
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a componente $ v $ da velocidade. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de campos vetoriais na física, como divergência e rotacional. Não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, como o campo é incompressível, isso significa que a divergência do campo de velocidade é zero. A divergência é uma operação que, no caso bidimensional, fica assim:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Substituindo $ u = k , x , y $ na equação:
u = k , x , y
Calculando a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
partial (k , x , y)partial x + partial vpartial y = 0
Então, a equação fica:
u

Passo 3

Agora, vamos resolver para $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
partial vpartial y
Integrando ambos os lados em relação a $ y $ para encontrar $ v $:
partial vpartial y = -k , y
Aqui, $ C(x) $ é uma função que depende de $ x $ porque a constante de integração pode variar com $ x $.

Passo 4

Como o campo é também irrotacional, isso significa que o rotacional do campo de velocidade é zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
partial vpartial x - partial upartial y = 0
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $ com $ u = k , x , y $:
partial upartial y
Então, a equação do rotacional fica:
u = k , x , y
Ou seja:
partial (k , x , y)partial y = k , x

Passo 5

Vamos substituir $ v $ que encontramos anteriormente na equação acima:
v
Isso simplifica para:
partialpartial x ( -k2 , y^2 + C(x) ) = k , x
Integrando em relação a $ x $:
C'(x) = k , x
Aqui, $ C_0 $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos $ C(x) $ de volta na expressão de $ v $:
C(x)
Normalmente, assumimos que a constante $ C_0 $ é zero (a menos que haja mais informações no problema que indiquem o contrário), então temos:
v

Resposta

A componente $ v $ da velocidade é:
v

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