É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Deduza a componente
de velocidade;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade que é incompressível e irrotacional, e a componente $ x $ da velocidade é dada por:
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a componente $ v $ da velocidade. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de campos vetoriais na física, como divergência e rotacional. Não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, como o campo é incompressível, isso significa que a divergência do campo de velocidade é zero. A divergência é uma operação que, no caso bidimensional, fica assim:
Substituindo $ u = k , x , y $ na equação:
Calculando a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver para $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Integrando ambos os lados em relação a $ y $ para encontrar $ v $:
Aqui, $ C(x) $ é uma função que depende de $ x $ porque a constante de integração pode variar com $ x $.
Passo 4
Como o campo é também irrotacional, isso significa que o rotacional do campo de velocidade é zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $ com $ u = k , x , y $:
Então, a equação do rotacional fica:
Ou seja:
Passo 5
Vamos substituir $ v $ que encontramos anteriormente na equação acima:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a $ x $:
Aqui, $ C_0 $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos $ C(x) $ de volta na expressão de $ v $:
Normalmente, assumimos que a constante $ C_0 $ é zero (a menos que haja mais informações no problema que indiquem o contrário), então temos:
Resposta
A componente $ v $ da velocidade é: