Expanda (V cdot nabla) V em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandir a expressão (V cdot nabla) V em coordenadas retangulares. Isso faz parte do estudo da dinâmica de fluidos, especificamente sobre como calcular a aceleração convectiva de uma partícula no fluido. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores e derivadas parciais em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor velocidade V em coordenadas retangulares. Geralmente, ele é representado assim:
V = u,i + v,j + w,k
Aqui, u, v e w são as componentes da velocidade nas direções x, y e z, respectivamente, e i, j e k são os vetores unitários nessas direções.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do operador nabla ( nabla), que em coordenadas retangulares é dado por:
nabla = ipartialpartial x + jpartialpartial y + kpartialpartial z
Esse operador é usado para calcular derivadas espaciais, como gradientes, divergências e rotações.

Passo 4

A expressão que queremos expandir é (V cdot nabla) V. Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre o vetor velocidade V e o operador nabla:
V cdot nabla = upartialpartial x + vpartialpartial y + wpartialpartial z
Isso basicamente combina as componentes de V com as derivadas parciais correspondentes.

Passo 5

Agora, aplicamos esse operador resultante a cada componente do vetor velocidade V. Isso significa que vamos calcular:
(V cdot nabla)V = (upartialpartial x + vpartialpartial y + wpartialpartial z)(u,i + v,j + w,k)
Vamos fazer isso componente por componente.

Passo 6

Calculando cada componente:
  • Componente i:
    upartial upartial x + vpartial upartial y + wpartial upartial z
  • Componente j:
    upartial vpartial x + vpartial vpartial y + wpartial vpartial z
  • Componente k:
    upartial wpartial x + vpartial wpartial y + wpartial wpartial z

Resposta

Portanto, a aceleração convectiva de uma partícula fluida em coordenadas retangulares é dada por:
(V cdot nabla)V = ( upartial upartial x + vpartial upartial y + wpartial upartial z )i + ( upartial vpartial x + vpartial vpartial y + wpartial vpartial z )j + ( upartial wpartial x + vpartial wpartial y + wpartial wpartial z )k

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