Expanda
em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandir a expressão
em coordenadas retangulares. Isso faz parte do estudo da dinâmica de fluidos, especificamente sobre como calcular a aceleração convectiva de uma partícula no fluido. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores e derivadas parciais em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor velocidade
em coordenadas retangulares. Geralmente, ele é representado assim:
Aqui,
,
e
são as componentes da velocidade nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
e
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do operador nabla (
), que em coordenadas retangulares é dado por:
Esse operador é usado para calcular derivadas espaciais, como gradientes, divergências e rotações.
Passo 4
A expressão que queremos expandir é
. Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre o vetor velocidade
e o operador
:
Isso basicamente combina as componentes de
com as derivadas parciais correspondentes.
Passo 5
Agora, aplicamos esse operador resultante a cada componente do vetor velocidade
. Isso significa que vamos calcular:
Vamos fazer isso componente por componente.
Passo 6
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Resposta
Portanto, a aceleração convectiva de uma partícula fluida em coordenadas retangulares é dada por: