Dado o campo vetorial
F(x, y, z)=(2 x y+z^2) i+(x^2+2 y z) j+(y^2+2 x z) k:
Calcule o divergente de F;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A pergunta é sobre encontrar o divergente de um campo vetorial dado. Para isso, precisamos entender o que é divergente e como calculá-lo. Vamos precisar conhecer parcialmente as derivadas das componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dado por:
div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Isso significa que a gente vai derivar cada componente do vetor em relação à sua variável correspondente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do vetor F:
P(x, y, z) = 2xy + z^2
Q(x, y, z) = x^2 + 2yz
R(x, y, z) = y^2 + 2xz

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Para P em relação a x:
partial Ppartial x = partialpartial x(2xy + z^2) = 2y
Porque a derivada de 2xy em relação a x é 2y e a derivada de z^2 em relação a x é zero.

Passo 5

Para Q em relação a y:
partial Qpartial y = partialpartial y(x^2 + 2yz) = 2z
Aqui, a derivada de x^2 em relação a y é zero e a derivada de 2yz em relação a y é 2z.

Passo 6

Para R em relação a z:
partial Rpartial z = partialpartial z(y^2 + 2xz) = 2x
A derivada de y^2 em relação a z é zero, e a derivada de 2xz em relação a z é 2x.

Passo 7

Agora, juntando tudo, o divergente de F é:
div , F = 2y + 2z + 2x = 2(x + y + z)

Resposta

O divergente de F é 2(x + y + z).

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