Dado o campo vetorial
F(x, y, z)=(2 x y+z^2) i+(x^2+2 y z) j+(y^2+2 x z) k:
Calcule o rotacional de F;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (2xy + z^2), i + (x^2 + 2yz), j + (y^2 + 2xz), k. O rotacional é uma operação que nos mostra como o campo gira em torno de cada ponto, e para isso, vamos usar a fórmula do rotacional em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial F = Fx, i + Fy, j + Fz, k. O rotacional, denotado por nabla times F, é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ), i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ), j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ), k

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial F:
Fx = 2xy + z^2
Fy = x^2 + 2yz
Fz = y^2 + 2xz

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial necessária na fórmula do rotacional:
  1. Para o componente i:
partial Fzpartial y = partialpartial y(y^2 + 2xz) = 2y
partial Fypartial z = partialpartial z(x^2 + 2yz) = 2y
i componente = 2y - 2y = 0
  1. Para o componente j:
partial Fxpartial z = partialpartial z(2xy + z^2) = 2z
partial Fzpartial x = partialpartial x(y^2 + 2xz) = 2z
j componente = 2z - 2z = 0
  1. Para o componente k:
partial Fypartial x = partialpartial x(x^2 + 2yz) = 2x
partial Fxpartial y = partialpartial y(2xy + z^2) = 2x
k componente = 2x - 2x = 0

Passo 5

Agora que calculamos todas as componentes do rotacional, vamos juntar os resultados:
nabla times F = 0, i + 0, j + 0, k = 0

Resposta

O rotacional de F é o vetor nulo:
nabla times F = 0

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