Dado o campo vetorial
Determine o vetor unitário em
no ponto
e que o mesmo seja tangencial ao cone feito por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por:
O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor unitário na direção de
no ponto
, assegurando que esse vetor seja tangente ao cone definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas esféricas, vetores unitários e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. É um vetor que tem magnitude igual a 1 e aponta na mesma direção do vetor original. Para encontrar o vetor unitário de
, precisamos dividir
pela sua magnitude.
A magnitude de um vetor
em coordenadas esféricas é dada por:
Onde
,
e
são as componentes do vetor nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial
:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos que o vetor unitário
seja tangente ao cone
. Isso significa que a direção de
deve estar no plano tangente ao cone nesse ponto.
A condição de tangência implica que a componente radial do vetor unitário seja tal que ele não tenha componente na direção normal ao cone. Para o cone
, a normal é principalmente na direção
.
Portanto, a componente radial do vetor unitário deve satisfazer a condição de que seu produto escalar com a normal ao cone seja zero.
Passo 5
Vamos considerar o vetor unitário
:
Para que
seja tangente ao cone, a componente na direção
deve satisfazer certa condição. Especificamente, queremos que a direção de
não tenha componente na direção radial do cone.
Isso implica que a inclinação do vetor
deve ser tal que ele “segue” a superfície do cone, ou seja, a derivada em relação a
e
deve respeitar a inclinação do cone.
Passo 6
Sabemos que no cone
,
é constante. Então, a derivada de
em relação a
é zero. Isso significa que o vetor tangente não tem variação na direção
, ou seja, a componente
deve ser zero.
Então, para que
seja tangente ao cone, a componente
do vetor
deve ser nula:
Resolvendo essa equação:
Sabemos que
é dado, então:
Como
, então:
Passo 7
Com
ou
, vamos calcular as componentes do vetor
:
Para
:
Então:
A magnitude de
é:
Passo 8
Agora, o vetor unitário
é:
Portanto, o vetor unitário na direção de
no ponto
, que é tangente ao cone
, é:
Resposta
O vetor unitário em
no ponto
, tangente ao cone
, é: