Dado o campo vetorial
F=r sin phi ar-1r sin theta cos phi atheta+5 r aphi
Determine o vetor unitário em F no ponto S e que o mesmo seja tangencial ao cone feito por theta=120^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por:
F = r sin phi ar - 1r sin theta cos phi atheta + 5 r aphi
O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor unitário na direção de F no ponto S, assegurando que esse vetor seja tangente ao cone definido por theta = 120^circ. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas esféricas, vetores unitários e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. É um vetor que tem magnitude igual a 1 e aponta na mesma direção do vetor original. Para encontrar o vetor unitário de F, precisamos dividir F pela sua magnitude.
A magnitude de um vetor F em coordenadas esféricas é dada por:
|F| = raizFr^2 + Ftheta^2 + Fphi^2
Onde Fr, Ftheta e Fphi são as componentes do vetor nas direções ar, atheta e aphi, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial F:
  • Fr = r sin phi
  • Ftheta = -1r sin theta cos phi
  • Fphi = 5 r
Agora, calculamos a magnitude de F:
|F| = raiz(r sin phi)^2 + (-1r sin theta cos phi)^2 + (5 r)^2
Simplificando:
|F| = raizr^2 sin^2 phi + 1r^2 sin^2 theta cos^2 phi + 25 r^2

Passo 4

Agora, queremos que o vetor unitário F seja tangente ao cone theta = 120^circ. Isso significa que a direção de F deve estar no plano tangente ao cone nesse ponto.
A condição de tangência implica que a componente radial do vetor unitário seja tal que ele não tenha componente na direção normal ao cone. Para o cone theta = constante, a normal é principalmente na direção atheta.
Portanto, a componente radial do vetor unitário deve satisfazer a condição de que seu produto escalar com a normal ao cone seja zero.

Passo 5

Vamos considerar o vetor unitário F:
F = F|F| = r sin phi ar - 1r sin theta cos phi atheta + 5 r aphi|F|
Para que F seja tangente ao cone, a componente na direção atheta deve satisfazer certa condição. Especificamente, queremos que a direção de F não tenha componente na direção radial do cone.
Isso implica que a inclinação do vetor F deve ser tal que ele “segue” a superfície do cone, ou seja, a derivada em relação a r e theta deve respeitar a inclinação do cone.

Passo 6

Sabemos que no cone theta = 120^circ, theta é constante. Então, a derivada de theta em relação a r é zero. Isso significa que o vetor tangente não tem variação na direção theta, ou seja, a componente atheta deve ser zero.
Então, para que F seja tangente ao cone, a componente atheta do vetor F deve ser nula:
-1r sin theta cos phi = 0
Resolvendo essa equação:
sin theta cos phi = 0
Sabemos que theta = 120^circ é dado, então:
sin 120^circ cos phi = 0
Como sin 120^circ neq 0, então:
cos phi = 0 implies phi = 90^circ ou phi = 270^circ

Passo 7

Com phi = 90^circ ou 270^circ, vamos calcular as componentes do vetor F:
Para phi = 90^circ:
sin phi = 1 cos phi = 0
Então:
F = r cdot 1 cdot ar - 1r sin 120^circ cdot 0 cdot atheta + 5 r cdot aphi F = r ar + 5 r aphi
A magnitude de F é:
|F| = raiz(r)^2 + (5 r)^2 = raizr^2 + 25 r^2 = raiz26 r^2 = r raiz26

Passo 8

Agora, o vetor unitário F é:
F = F|F| = r ar + 5 r aphir raiz26 = 1raiz26 ar + 5raiz26 aphi
Portanto, o vetor unitário na direção de F no ponto S, que é tangente ao cone theta = 120^circ, é:
F = 1raiz26 ar + 5raiz26 aphi

Resposta

O vetor unitário em F no ponto S, tangente ao cone theta = 120^circ, é:
F = 1raiz26, ar + 5raiz26, aphi

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