Seja a função de campo escalar dada por
Calcule a derivada direcional
dado na direção
no ponto
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função de campo escalar $ V = 4xy^{2}z + x^{2}z + xyz $. Nosso objetivo é calcular a derivada direcional de $ V $ na direção do vetor $ \hat{a} = \hat{a}{x} + 2\hat{a}{y} + 3\hat{a}_{z} $ no ponto $ P(1, -1, 1) $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o de derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função $ V $ na direção de um vetor específico. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente de $ V $ e do vetor direção.
Passo 3
O gradiente de uma função escalar $ V(x, y, z) $ é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial z} $:
Passo 5
Agora, vamos formar o vetor gradiente:
Passo 6
Em seguida, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(1, -1, 1) $:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = -1 $, e $ z = 1 $:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos normalizar o vetor direção $ \hat{a} = (1, 2, 3) $ para obter o vetor unitário na direção de $ \hat{a} $. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude.
A magnitude de $ \hat{a} $ é:
Portanto, o vetor unitário $ \hat{u} $ na direção de $ \hat{a} $ é:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ V $ na direção de $ \hat{a} = \hat{a}{x} + 2\hat{a}{y} + 3\hat{a}_{z} $ no ponto $ P(1, -1, 1) $ é