Seja a função de campo escalar dada por
V=4 x y^2 z+x^2 z+x y z
Calcule a derivada direcional d Vd l dado na direção ax+2 ay+3 az no ponto P(1,-1,1)

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função de campo escalar $ V = 4xy^{2}z + x^{2}z + xyz $. Nosso objetivo é calcular a derivada direcional de $ V $ na direção do vetor $ \hat{a} = \hat{a}{x} + 2\hat{a}{y} + 3\hat{a}_{z} $ no ponto $ P(1, -1, 1) $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o de derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função $ V $ na direção de um vetor específico. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente de $ V $ e do vetor direção.

Passo 3

O gradiente de uma função escalar $ V(x, y, z) $ é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Ou seja,
V(x, y, z)
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
partial Vpartial x
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial y} $:
partial Vpartial x = partialpartial x (4xy^2z + x^2z + xyz) = 4y^2z + 2xz + yz
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial z} $:
partial Vpartial y

Passo 5

Agora, vamos formar o vetor gradiente:
boxednabla V = (4y^2z + 2xz + yz, 8xyz + 2xz, 4xy^2 + x^2 + xy)

Passo 6

Em seguida, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(1, -1, 1) $:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = -1 $, e $ z = 1 $:
P(1, -1, 1)
x = 1
y = -1
Então,
z = 1

Passo 7

Agora, precisamos normalizar o vetor direção $ \hat{a} = (1, 2, 3) $ para obter o vetor unitário na direção de $ \hat{a} $. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude.
A magnitude de $ \hat{a} $ é:
a = (1, 2, 3)
Portanto, o vetor unitário $ \hat{u} $ na direção de $ \hat{a} $ é:
a

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
dVdl = nabla V(P) cdot u
Fazendo o produto escalar:
dVdl = (5)(1raiz14) + (-6)(2raiz14) + (4)(3raiz14)
= 5raiz14 - 12raiz14 + 12raiz14 = 5raiz14

Resposta

A derivada direcional de $ V $ na direção de $ \hat{a} = \hat{a}{x} + 2\hat{a}{y} + 3\hat{a}_{z} $ no ponto $ P(1, -1, 1) $ é
V

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