Seja o vetor A=2 r ar+r sin theta atheta+pi4 aphi
Escreva este vetor no formato cartesiano no ponto (0,8,6) e no formato cilíndrico em (3, pi4, 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente converter o vetor A = 2 r ar + r sin theta atheta + pi4 aphi para dois sistemas de coordenadas diferentes: cartesiano no ponto (0,8,6) e cilíndrico em (3, pi4, 4). Vamos usar conhecimentos de coordenadas esféricas, cartesianas e cilíndricas, além das relações entre esses sistemas para fazer as conversões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o sistema de coordenadas do vetor A. Ele está na forma esférica, onde:
  • r é a distância do ponto à origem.
  • theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z).
  • phi é o ângulo azimutal (medido no plano xy).
As componentes do vetor estão nas direções ar, atheta e aphi, que são os vetores unitários nas direções radiais, polares e azimutais, respectivamente.

Passo 3

Vamos converter o vetor A para coordenadas cartesianas no ponto (0,8,6). Primeiro, precisamos encontrar r, theta e phi para esse ponto.
Usando as fórmulas de conversão de cartesianas para esféricas:
r = raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz0^2 + 8^2 + 6^2 = raiz0 + 64 + 36 = raiz100 = 10
theta = arccos(zr) = arccos(610) = arccos(0.6) approx 0.927 radianos
phi = arctan(yx) = arctan(80) = pi2 radianos

Passo 4

Agora, vamos substituir r, theta e phi no vetor A:
A = 2 times 10 ar + 10 sin(0.927) atheta + pi4 aphi
Calculando os valores numéricos:
A = 20 ar + 10 times 0.8 atheta + pi4 aphi = 20 ar + 8 atheta + pi4 aphi
Agora, precisamos converter essas componentes para o sistema cartesiano. As relações são:
ar = sintheta cosphi , i + sintheta sinphi , j + costheta , k
atheta = costheta cosphi , i + costheta sinphi , j - sintheta , k
aphi = -sinphi , i + cosphi , j
Substituindo theta approx 0.927 rad e phi = pi2:
ar = sin(0.927) times 0 , i + sin(0.927) times 1 , j + cos(0.927) , k = 0 i + 0.8 j + 0.6 k
atheta = cos(0.927) times 0 , i + cos(0.927) times 1 , j - sin(0.927) , k = 0 i + 0.6 j - 0.8 k
aphi = -1 i + 0 j

Passo 5

Agora, montamos o vetor A em coordenadas cartesianas:
A = 20 (0 i + 0.8 j + 0.6 k) + 8 (0 i + 0.6 j - 0.8 k) + pi4 (-1 i + 0 j)
Distribuindo:
A = (0 + 0 + -pi4) i + (16 + 4.8 + 0) j + (12 + -6.4) k
Simplificando:
A = -pi4 i + 20.8 j + 5.6 k

Passo 6

Agora, vamos converter o vetor A para coordenadas cilíndricas no ponto (3, pi4, 4). As coordenadas cilíndricas (rho, phi, z) relacionam-se com as esféricas da seguinte forma:
Como A está em coordenadas esféricas, mas precisamos expressá-la em cilíndricas, vamos usar as relações entre os sistemas.
Primeiro, identificamos r, theta e phi para o ponto (3, pi4, 4). Em coordenadas cilíndricas, rho = 3, phi = pi4, z = 4.
Convertendo para esféricas:
r = raizrho^2 + z^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
theta = arctan(rhoz) = arctan(34) approx 0.6435 radianos

Passo 7

Substituindo r = 5, theta approx 0.6435 e phi = pi4 no vetor A:
A = 2 times 5 ar + 5 sin(0.6435) atheta + pi4 aphi = 10 ar + 5 times 0.6 atheta + pi4 aphi = 10 ar + 3 atheta + pi4 aphi
Agora, vamos expressar ar, atheta e aphi em termos das coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
ar = erho
atheta = ephi (em coordenadas cilíndricas, o ângulo polares está relacionado ao azimutal) íâá
aphi = -sinphi , i + cosphi , j
Para coordenadas cilíndricas, as direções principais são erho, ephi e ez.

Resposta

Em coordenadas cartesianas no ponto (0,8,6), o vetor A fica:
A = -pi4 , i + 20.8 , j + 5.6 , k
Em coordenadas cilíndricas no ponto (3, pi4, 4), o vetor A é:
A = 10 , erho + 3 , ephi + pi4 , ephi

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