Seja o vetor
Escreva este vetor no formato cartesiano no ponto
e no formato cilíndrico em
Escreva este vetor no formato cartesiano no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente converter o vetor
para dois sistemas de coordenadas diferentes: cartesiano no ponto
e cilíndrico em
. Vamos usar conhecimentos de coordenadas esféricas, cartesianas e cilíndricas, além das relações entre esses sistemas para fazer as conversões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o sistema de coordenadas do vetor
. Ele está na forma esférica, onde:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ). -
é o ângulo azimutal (medido no plano ).
As componentes do vetor estão nas direções
,
e
, que são os vetores unitários nas direções radiais, polares e azimutais, respectivamente.
Passo 3
Vamos converter o vetor
para coordenadas cartesianas no ponto
. Primeiro, precisamos encontrar
,
e
para esse ponto.
Usando as fórmulas de conversão de cartesianas para esféricas:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
no vetor
:
Calculando os valores numéricos:
Agora, precisamos converter essas componentes para o sistema cartesiano. As relações são:
Substituindo
rad e
:
Passo 5
Agora, montamos o vetor
em coordenadas cartesianas:
Distribuindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos converter o vetor
para coordenadas cilíndricas no ponto
. As coordenadas cilíndricas
relacionam-se com as esféricas da seguinte forma:
Como
está em coordenadas esféricas, mas precisamos expressá-la em cilíndricas, vamos usar as relações entre os sistemas.
Primeiro, identificamos
,
e
para o ponto
. Em coordenadas cilíndricas,
,
,
.
Convertendo para esféricas:
Passo 7
Substituindo
,
e
no vetor
:
Agora, vamos expressar
,
e
em termos das coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Para coordenadas cilíndricas, as direções principais são
,
e
.
Resposta
Em coordenadas cartesianas no ponto
, o vetor
fica:
Em coordenadas cilíndricas no ponto
, o vetor
é: