Dado o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}, assinale V ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
\{\{\emptyset\}\}\subset B

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\} e pede para avaliar a veracidade da sentença \{\{\emptyset\}\}\subset B.
As informações relevantes: o conjunto a verificar como subconjunto é \{\{\emptyset\}\}, cujo único elemento é \{\emptyset\}. O conjunto B tem os elementos listados acima.

Passo 2

Definição útil (explicação didática): dizemos que A\subset B se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B. Em símbolos:
A\subset B \iff (\forall x)(x\in A \Rightarrow x\in B).
Importante diferença entre “elemento” e “subconjunto”: por exemplo \emptyset\in\{\emptyset\} é verdadeiro (porque \{\emptyset\} tem como elemento o conjunto vazio), enquanto \emptyset\subset\{\emptyset\} também é verdadeiro (porque todo elemento de \emptyset — não há nenhum — está em \{\emptyset\}). Já \{\emptyset\}\in\{\{\emptyset\}\} é verdadeiro e \{\emptyset\}\subset\{\{\emptyset\}\} é falso (porque o único elemento de \{\{\emptyset\}\} é \{\emptyset\}, que não é um elemento de \{\emptyset\}) — serve para ver como esses símbolos se comportam.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso: o conjunto \{\{\emptyset\}\} tem exatamente um elemento, que é \{\emptyset\}. Para ter \{\{\emptyset\}\}\subset B é necessário que \{\emptyset\}\in B.
Liste os elementos de B (peguei-os do enunciado):
\emptyset,\; 2,\; \{2,3\},\; \{4\},\; 7,\; d.
Agora verificar se algum desses é igual a \{\emptyset\}:
  • \emptyset \neq \{\emptyset\}, porque \emptyset não tem elementos e \{\emptyset\} tem exatamente um elemento.
  • 2\neq \{\emptyset\} e 7\neq \{\emptyset\} e d\neq \{\emptyset\}, pois 2,7,d são objetos (números ou símbolo) distintos de um conjunto cujo elemento é \emptyset.
  • \{2,3\}\neq\{\emptyset\}, porque \{2,3\} contém os elementos 2 e 3, não contém \emptyset.
  • \{4\}\neq\{\emptyset\}, porque \{4\} contém 4, não contém \emptyset.
Portanto não existe nenhum elemento de B que seja igual a \{\emptyset\}. Conclui-se que \{\emptyset\}\notin B.

Passo 4

Como o único elemento de \{\{\emptyset\}\} (que é \{\emptyset\}) não pertence a B, nem todo elemento de \{\{\emptyset\}\} está em B. Peladefinicão, \{\{\emptyset\}\}\not\subset B. Logo a sentença dada é falsa.

Resposta

F

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